metazyklische Gruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Mi 08.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel für eine metazyklische Gruppe an, die nicht zyklisch ist. |
Anmerkung: Eine Gruppe G heißt metazyklisch, wenn G einen zyklischen Normalteiler N mit zyklischer Faktorgruppe G/N besitzt.
Hallo,
ich suche nach einem solchen Beispiel und spontan fällt mir die Klein´sche Vierergruppe ein.
Bevor ich es im Einzelnen ansehe, würde ich gerne wissen, ob meine Vermutung richtig ist.
[Wenn nicht: Kann ich vllt. einen kleinen Hinweis bekommen, wie denn dann ein Beispiel aussehen könnte?]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Mi 08.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Geben Sie ein Beispiel für eine metazyklische Gruppe an,
> die nicht zyklisch ist.
genau das hatten wir doch hier schonmal.
Damals war das Ergebnis, dass du das selber nachrechnen solltest, ob die kleinsche Vierergruppe metazyklisch ist oder nicht.
> ich suche nach einem solchen Beispiel und spontan fällt
> mir die Klein´sche Vierergruppe ein.
Das ist nichts neues.
> Bevor ich es im Einzelnen ansehe, würde ich gerne wissen,
> ob meine Vermutung richtig ist.
Dazu hatte ich schonmal was geschrieben, und zwar hier.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Mi 08.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ja, stimmt, das hatte ich komplett vergessen.
Entschuldigung!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Mi 08.12.2010 | | Autor: | statler |
> Geben Sie ein Beispiel für eine metazyklische Gruppe an,
> die nicht zyklisch ist.
> Anmerkung: Eine Gruppe G heißt metazyklisch, wenn G einen
> zyklischen Normalteiler N mit zyklischer Faktorgruppe G/N
> besitzt.
Hi!
> ich suche nach einem solchen Beispiel und spontan fällt
> mir die Klein´sche Vierergruppe ein.
>
> Bevor ich es im Einzelnen ansehe, würde ich gerne wissen,
> ob meine Vermutung richtig ist.
Ich kannte diesen Ausdruck gar nicht, aber nach Def. oben ist dein Beispiel OK. Alle Gruppen der Bauart [mm] Z_n [/mm] x [mm] Z_n [/mm] wären wohl metazyklisch, aber nicht zyklisch. Und viele endlich erzeugte abelsche Gruppen wären jedenfalls metazyklisch. Und bei den nichtkommutativen hätte man die Diedergruppen: Die Drehungen sind ein zyklischer NT vom Index 2.
Wieder was gelernt. Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Mi 08.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Danke für die Bestätigung!
LG Dennis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Mi 08.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Ich habe doch noch eine Frage hierzu: |
Als Beispiel für eine metazyklische Gruppe, die nicht zyklisch ist, wähle ich also die Klein´sche Vierergruppe
[mm] V=\{id,(14)(23),(12)(34),(13)(24)\}.
[/mm]
Dann gilt:
1. V ist nicht zyklisch.
2. Ich bestimme alle Untergruppen:
Es gibt Untergruppen der Ordnung 1,2 und 4 (Lagrange).
triviale Untergruppen:
[mm] U_1=\{id\} [/mm] [Ordnung 1]
[mm] U_2=\{V\} [/mm] [Ordnung 4]
nicht-triviale Untergruppen:
Das sind die Untergruppen der Ordnung 2:
[mm] U_3=<(14)(23)>
[/mm]
[mm] U_4=<(12)(34)>
[/mm]
[mm] U_5=<(13)(24)>
[/mm]
Und es stellt sich heraus, dass [mm] U_3,U_4 [/mm] und [mm] U_5 [/mm] sämtlich Normalteiler sind, denn (exemplarisch für [mm] U_3):
[/mm]
z.B.
[mm] (12)(34)\circ (14)(23)\circ \underbrace{(12)(34)}_{=((12)(34))^{-1}}=(14)(23)\in U_3
[/mm]
d.h. alle Untergruppen sind Normalteiler und zyklisch.
Jetzt muss ich ja noch zeigen, dass auch die jeweiligen Faktorgruppen zyklisch sind.
Aber wenn ich mir jetzt z.B. <(14)(23)> hernehme und dazu einen Repräsentanten aus V, der nicht in <(14)(23)> enthalten ist [m.E. bestimmt man so die Faktorgruppen], dann erhalte ich z.B:
[mm] (12)(34)\circ [/mm] <(14)(23)> = [mm] (12)(34)\circ \{id, (14)(23)\} [/mm] = [mm] \{(12)(34), (13)(24)\}.
[/mm]
Aber diese Menge ist doch nicht zyklisch, sehe ich das richtig? Was bringe ich hier durcheinander?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Fr 10.12.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Jetzt muss ich ja noch zeigen, dass auch die jeweiligen
> Faktorgruppen zyklisch sind.
>
> Aber wenn ich mir jetzt z.B. <(14)(23)> hernehme und dazu
> einen Repräsentanten aus V, der nicht in <(14)(23)>
> enthalten ist [m.E. bestimmt man so die Faktorgruppen],
> dann erhalte ich z.B:
>
> [mm](12)(34)\circ[/mm] <(14)(23)> = [mm](12)(34)\circ \{id, (14)(23)\}[/mm] =
> [mm]\{(12)(34), (13)(24)\}.[/mm]
>
> Aber diese Menge ist doch nicht zyklisch, sehe ich das
> richtig? Was bringe ich hier durcheinander?
Mengen sind nie zyklisch, weil Mengen überhaupt keine algebraische Struktur tragen. Was ist denn die Faktorgruppe, was sind ihre Elemente? Was du hingeschrieben hast, ist eine Nebenklasse, die ist wirklich nur eine Menge.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:21 Fr 10.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich weiß leider nicht, wie man eine Faktorgruppe bildet, ich dachte immer, dass man sich einen Repräsentanten nimmt, der nicht im jeweiligen Normalteiler liegt und dann diesen Repräsentanten mit dem Normalteiler verknüpft.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Fr 10.12.2010 | | Autor: | statler |
> Ich weiß leider nicht, wie man eine Faktorgruppe bildet,
> ich dachte immer, dass man sich einen Repräsentanten
> nimmt, der nicht im jeweiligen Normalteiler liegt und dann
> diesen Repräsentanten mit dem Normalteiler verknüpft.
Ja dann ... Das ist natürlich ein katastrophaler Mangel!
Die Nebenklassen selbst sind die Elemente der Faktorgruppe. 2 Nebenklassen werden verknüpft, indem man 2 (beliebige) Repräsentanten verknüpft und die Nebenklasse des Ergebnisses nimmt.
Bevor du das nicht komplett verstanden hast, solltest du nicht weitermachen. Restklassenbildung ist eine zentrale Vorgehensweise in der gesamten Mathematik.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Fr 10.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Kannst Du es mir vllt. an einem Beispiel verdeutlichen?
Nimmt man zum Beispiel die Gruppe [mm] S_3:
[/mm]
Wie bestimmt man die Faktorgruppen? |
Man benötigt für die Angabe der Faktorgruppen von [mm] S_3 [/mm] zunächst die Normalteiler von [mm] S_3; [/mm] diese lauten:
1.) {id}
2.) [mm] S_3=\{id,(123),(132),(12),(13),(23)\}
[/mm]
3.) [mm] A_3=\{(1),(123),(132)\}
[/mm]
Und wie bestimmt man nun die Faktorgruppen [mein (korrigierter)Vorschlag: s. unten]?
Hier ist das Vorgehen, wie ich es [hoffentlich nun richtig] machen würde:
Also: Ich würde jetzt beispielsweise den Normalteiler [mm] A_3 [/mm] herauspicken und für diesen Normalteiler die Nebenklassen berechnen; von diesen gibt es lt. Langrange 2 Stück [mm] (|S_3|/|A_3|=6/3=2).
[/mm]
Ich suche mir also zwei Elemente aus [mm] S_3, [/mm] die nicht auch in [mm] A_3 [/mm] enthalten sind: z.B. (23) und (13).
Dann ist die erste Nebenklasse:
[mm] (13)\circ \{(1),(123),(132)\} [/mm] [Ausrechnen]
und die zweite Nebenklasse lautet:
[mm] (23)\circ \{(1),(123),(132)\} [/mm] [Ausrechnen].
Und wenn ich nun diese beiden Nebenklassen miteinander verknüpfe, wie es für Faktorgruppen vorgesehen ist, dann habe ich die Faktorgruppe [mm] S_3/A_3. [/mm] Korrekt?
Und nun würde ich analog für die beiden anderen Normalteiler vorgehen, sprich für {id} und [mm] S_3.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Fr 10.12.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Nimmt man zum Beispiel die Gruppe [mm]S_3:[/mm]
>
> Wie bestimmt man die Faktorgruppen?
> Man benötigt für die Angabe der Faktorgruppen von [mm]S_3[/mm]
> zunächst die Normalteiler von [mm]S_3;[/mm] diese lauten:
>
> 1.) {id}
> 2.) [mm]S_3=\{id,(123),(132),(12),(13),(23)\}[/mm]
> 3.) [mm]A_3=\{(1),(123),(132)\}[/mm]
Das ist OK!
> Und wie bestimmt man nun die Faktorgruppen [mein
> (korrigierter)Vorschlag: s. unten]?
>
> Hier ist das Vorgehen, wie ich es [hoffentlich nun richtig]
> machen würde:
>
> Also: Ich würde jetzt beispielsweise den Normalteiler [mm]A_3[/mm]
> herauspicken und für diesen Normalteiler die Nebenklassen
> berechnen; von diesen gibt es lt. Langrange 2 Stück
> [mm](|S_3|/|A_3|=6/3=2).[/mm]
Das ist auch noch OK.
> Ich suche mir also zwei Elemente aus [mm]S_3,[/mm] die nicht auch in
> [mm]A_3[/mm] enthalten sind: z.B. (23) und (13).
>
> Dann ist die erste Nebenklasse:
> [mm](13)\circ \{(1),(123),(132)\}[/mm] [Ausrechnen]
>
> und die zweite Nebenklasse lautet:
> [mm](23)\circ \{(1),(123),(132)\}[/mm] [Ausrechnen].
Jetzt geht es into the trousers. Du hast da zwar 'Ausrechnen' hingeschrieben, es aber anscheinend nichtgetan. Sonst hättest du zwangsläufig gemerkt, daß das 2 gleiche Nebenklassen sind. Es ist viel einfacher. Was ist die andere von den beiden Nebenklassen?
> Und wenn ich nun diese beiden Nebenklassen miteinander
> verknüpfe, wie es für Faktorgruppen vorgesehen ist, dann
> habe ich die Faktorgruppe [mm]S_3/A_3.[/mm] Korrekt?
Deswegen nicht, weil das gar keine 2 Nebenklassen sind.
> Und nun würde ich analog für die beiden anderen
> Normalteiler vorgehen, sprich für {id} und [mm]S_3.[/mm]
Da ist es babyeierleicht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Fr 10.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Es stimmt, ich habe es nicht ausgerechnet.
Mir ging es um das allgemeine Vorgehen:
Ist denn das richtig? |
Mir geht es nur darum, dass ich das prinzipielle Vorgehen verstanden habe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Fr 10.12.2010 | | Autor: | statler |
Aber dazu mußt du doch erstmal überhaupt die Nebenklassen selbst bestimmen können. Ohne Nebenklassen keine Verknüpfung.
Gruß Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Fr 10.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Stimmt dieser "Algorithmus"? |
4 Schritte zur Ermittlung von Faktorgruppen
1. Alle Untergruppen werden bestimmt.
2. Unter den Untergruppen werden alle Normalteiler gesucht.
3. Man bildet für jeden dieser Normalteiler die nötige Anzahl an Nebenklassen [Lagrange anwenden, um die Anzahl zu bekommen, nämlich: |Gruppe|/|Normalteiler|].
4.Diese Nebenklassen verknüpft man nun, wie es für Faktorgruppen [z.B in der Vorlesung] definiert wurde und damit hat man die Elemente der Faktorgruppe zu je einem Normalteiler.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 So 12.12.2010 | | Autor: | statler |
Hallo,
so kann man da vorgehen. Was ist denn das neutrale Element in der Faktorgruppe? Das muß es ja geben.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Fr 10.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Entschuldige, wenn ich jetzt wieder von meinem [mm] S_3-Beispiel [/mm] abweiche.
Natürlich muss man vorher wissen, wie man Nebenklassen bestimmt. Es geht mir aber nur um die einzelnen theoretischen Schritte. Wie ich die dann im Einzelnen beherrsche, ist eine andere Frage, das stimmt.
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