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| Aufgabe | Im Folgenden definieren wir jeweils eine Teilmenge [mm] X\subset\IR [/mm] und betrachten den metrischen Raum (X,d), wobei d von der üblichen euklidischen Metrik auf [mm] \IR [/mm] induziert wird. Entscheiden Sie jeweils mit Begründung, ob (X,d) vollständig ist.
a) [mm] X=\IZ
[/mm]
b) [mm] X=\{\bruch{1}{n}:n\in\IN\}
[/mm]
c) [mm] X=(-\infty,0]\cup\{\bruch{1}{n}:n\in\IN\}
[/mm]
d) [mm] X=\IR-\IQ [/mm] |
Hallo :)
Ich habe mal wieder ein Problem mit einer Aufgabe.. Leider weiß ich überhaupt nicht, wie man beweisen soll, dass (X,d) vollständig ist. Im Internet oder in meinen Büchern findet man dazu leider überhaupt nichts oder ich suche einfach falsch.
Es wäre sehr lieb, wenn mir jemand erklärt wie das funktioniert. Zu b) und c): Ich denke, dass das was mit der Cauchy-Folge zu tun hat, aber das bringt mich leider auch nicht wirklich weiter.
Lieben Gruß und vielen Dank im Voraus
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:43 Do 21.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Im Folgenden definieren wir jeweils eine Teilmenge
> [mm]X\subset\IR[/mm] und betrachten den metrischen Raum (X,d), wobei
> d von der üblichen euklidischen Metrik auf [mm]\IR[/mm] induziert
> wird. Entscheiden Sie jeweils mit Begründung, ob (X,d)
> vollständig ist.
>
> a) [mm]X=\IZ[/mm]
> b) [mm]X=\{\bruch{1}{n}:n\in\IN\}[/mm]
> c) [mm]X=(-\infty,0]\cup\{\bruch{1}{n}:n\in\IN\}[/mm]
> d) [mm]X=\IR-\IQ[/mm]
> Hallo :)
>
> Ich habe mal wieder ein Problem mit einer Aufgabe.. Leider
> weiß ich überhaupt nicht, wie man beweisen soll, dass
> (X,d) vollständig ist.
..... man könnte die Definition nehmen... ?
> Im Internet oder in meinen Büchern
> findet man dazu leider überhaupt nichts
Das glaube ich nicht.
> oder ich suche
> einfach falsch.
Das glaube ich schon eher.
> Es wäre sehr lieb, wenn mir jemand erklärt wie das
> funktioniert. Zu b) und c): Ich denke, dass das was mit der
> Cauchy-Folge zu tun hat,
Mit welcher ? s gibt einige !
> aber das bringt mich leider auch
> nicht wirklich weiter.
Doch das täte es, wenn Du Dich um einige Defonitionen bemüht hättest.
>
> Lieben Gruß und vielen Dank im Voraus
>
> Katrin
(X,d) ist vollständig, wenn folgendes gilt: ist [mm] (x_n) [/mm] eine Caucyfolge in X, so gibt es ein x [mm] \in [/mm] X mit: [mm] (x_n) [/mm] konvergiert gegen x.
Zu a): sei [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] \IZ. [/mm] Zu [mm] \epsilon>0 [/mm] ex. also ein [mm] N=N(\epsilon) \in \IN [/mm] mit
[mm] d(x_n,x_m) [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für n,m>N.
Welche Eigenschaft hat nun [mm] (x_n), [/mm] wenn Du Dir vor Augen hältst, dass [mm] \epsilon [/mm] <1 nicht verboten ist ?
Zeige damit: [mm] (x_n) [/mm] konvergiert in [mm] \IZ. \IZ [/mm] ist also vollständig.
Zu d):
Zeige: [mm] (\bruch{\wurzel{2}}{n}) [/mm] ist eine Cauchyfolge in X, sie konvergiert aber nicht in X. X ist also nicht vollständig.
FRED
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Hallo FRED,
danke für deine Hilfe!!
Also ich will dir jetzt mal meine Gedanken zu der Aufgabe schreiben:
Zur Aufgabe a):
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchy-Folge in in [mm] \IZ
[/mm]
[mm] \gdw \forall\varepsilon>0 \exists N\in\IN: \forall [/mm] m,n [mm] \ge [/mm] N: [mm] d(dx_m,x_n)<\varepsilon
[/mm]
Insbesondere ist [mm] \varepsilon [/mm] beliebig, aber größer Null. Wähle [mm] 0<\varepsilon<1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists N'\in\IN: \forall m,n\ge [/mm] N': [mm] d(x_m,x_n)<\varepsilon<1
[/mm]
Da [mm] x_m,x_n\in\IZ [/mm] ist [mm] d(x_m,x_n)\in\IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow d(x_m,x_n)=0 \forall m,n\ge [/mm] N' mit d die euklidische Metrik
[mm] \Rightarrow \exists a\in\IZ, [/mm] sodass [mm] \forall m\ge [/mm] N' [mm] x_m=a
[/mm]
[mm] \Rightarrow (x_n) [/mm] konvergiert gegen [mm] a\in\IZ [/mm]
Da [mm] (x_n) [/mm] beliebig:
[mm] \Rightarrow [/mm] jede Cauchy-Folge in [mm] \IZ [/mm] konvergiert gegen ein [mm] a\in\IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\IZ,d) [/mm] ist vollständiger metrischer Raum
Zu Aufgabe b):
Also auf dem letzten Übungszettel habe ich schon mal bewiesen, dass [mm] \bruch{1}{n} [/mm] die Cauchy-Bedingung erfüllt und somit eine Cauchy-Folge ist.
Ich weiß nicht ob ich das jetzt explizit noch mal machen muss. Wäre nett von dir, wenn du mir deine Meinung dazu sagst.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}\to [/mm] 0
0 liegt nicht in der Menge
[mm] \Rightarrow [/mm] der metrische Raum ist nicht vollständig.
Reicht der Beweis dann so?
Zu Aufgabe c):
Also im Aufgabenteil b) habe ich ja jetzt gezeigt, dass der rechte Teil [mm] (\{\bruch{1}{n}:n\in\IN\}) [/mm] nicht vollständig ist. Durch die Vereinigung von [mm] (-\infty,0] [/mm] liegt 0 in der Menge. Also konvergiert [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen 0. Und da wie gesagt 0 in der Menge liegt, ist der rechte Teil der Vereinigung vollständig. Jetzt muss ich ja noch die negativen reellen Zahlen betrachten.
Leider weiß ich jetzt nicht weiter und wäre über einen weiteren Tipp dankbar. Meine Idee wäre es jetzt, dass der Beweis dazu so aussieht, wie der Beweis, dass [mm] \IR [/mm] ein vollständiger metrischer Raum ist.
Zu Aufgabe d):
Zeige, dass [mm] \bruch{\wurzel{2}}{n} [/mm] die Cauchy-Bedingung erfüllt:
[mm] \forall \varepsilon\in\IR [/mm] mit [mm] \varepsilon>0 \exists N\in\IN: d(x_n,x_m)<\varepsilon \forall n,m\ge [/mm] N
Sei [mm] \varepsilon [/mm] fest
[mm] |x_n-x_m|=|\bruch{\wurzel{2}}{n}-\bruch{\wurzel{2}}{m}|<\varepsilon
[/mm]
Dabei ist [mm] \bruch{\wurzel{2}}{n} [/mm] möglichst groß -> kleinstes n=N
Sei n>m
[mm] \bruch{\wurzel{2}}{n}-\bruch{\wurzel{2}}{m}\le\bruch{\wurzel{2}}{N}-\bruch{\wurzel{2}}{m}<\bruch{\wurzel{2}}{N}\le\varepsilon
[/mm]
wobei [mm] \bruch{\wurzel{2}}{m}>0
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{2}}{N}\le\epsilon \Rightarrow \bruch{\wurzel{2}}{\varepsilon}\le [/mm] N
[mm] \Rightarrow [/mm] Cauchy-Bedingung ist erfüllt
Aus dem Beweis folgt:
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{2}}{n} \to [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 liegt nicht in der Menge [mm] \IR-\IQ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (X,d) ist kein vollständiger metrischer Raum
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Hiho,
> Zur Aufgabe a):
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu Aufgabe b):
> Ich weiß nicht ob ich das jetzt explizit noch mal machen muss.
Ein Verweis reicht meiner Meinung nach locker aus.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}\to[/mm] 0
> 0 liegt nicht in der Menge
> [mm]\Rightarrow[/mm] der metrische Raum ist nicht vollständig.
> Zu Aufgabe c):
>
> Also im Aufgabenteil b) habe ich ja jetzt gezeigt, dass der
> rechte Teil [mm](\{\bruch{1}{n}:n\in\IN\})[/mm] nicht vollständig
> ist. Durch die Vereinigung von [mm](-\infty,0][/mm] liegt 0 in der
> Menge. Also konvergiert [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gegen 0. Und da wie
> gesagt 0 in der Menge liegt, ist der rechte Teil der
> Vereinigung vollständig. Jetzt muss ich ja noch die
> negativen reellen Zahlen betrachten.
> Leider weiß ich jetzt nicht weiter und wäre über einen
> weiteren Tipp dankbar. Meine Idee wäre es jetzt, dass der
> Beweis dazu so aussieht, wie der Beweis, dass [mm]\IR[/mm] ein
> vollständiger metrischer Raum ist.
Ja das könnte man so machen, oder du nutzt, was du über abgeschlossene Teilmengen weißt und zeigst, dass die Menge abgeschlossen ist.
> Zu Aufgabe d):
Grundsätzlich ok, bis auf:
> Sei n>m
Hier meinst du sicher $m>n$.
Und: Du hast natürlich vergessen zu begründen, warum [mm] $\bruch{\sqrt{2}}{n}\in\IR\setminus\IQ$ [/mm] gilt.
Dann ein Tipp: Die Begründung der Cauchy-Folge geht auch einfacher:
[mm] $\left|\bruch{\sqrt{2}}{n} - \bruch{\sqrt{2}}{m}\right| [/mm] < [mm] \varepsilon \quad\gdw\quad \left|\bruch{1}{n} - \bruch{1}{m}\right| [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{\sqrt{2}} [/mm] =: [mm] \overline{\varepsilon}$
[/mm]
Zu zeigen ist also nur noch:
[mm] $\left|\bruch{1}{n} - \bruch{1}{m}\right| [/mm] < [mm] \overline{\varepsilon}$
[/mm]
Und das kommt dir doch sicherlich bekannt vor....
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Fr 22.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Teil c) kannst Du so erledigen (das ist im Grunde das, was Gono vorgeschlagen hat):
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge in X. Dann ist [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] \IR. [/mm] Also ex. ein x [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] x_n \to [/mm] x.
Zu zeigen ist nun: x [mm] \in [/mm] X.
Fall 1: [mm] x_n \le [/mm] 0 für fast alle n. Dann ist auch x [mm] \le [/mm] 0 und somit x [mm] \in [/mm] X.
Fall 2: [mm] x_n [/mm] >0 für unendlich viele n. Somit ex. eine Teilfolge [mm] (u_k) [/mm] von [mm] (x_n) [/mm] mit
[mm] u_k \in \{\bruch{1}{n}:n\in\IN\} [/mm] für alle k.
Damit ist [mm] (u_k) [/mm] eine Umordnung einer Teilfolge von [mm] (\bruch{1}{n}). [/mm] Es folgt: [mm] (u_k) [/mm] ist eine Nullfolge.
Es gilt aber auch: [mm] u_k \to [/mm] x. Somit ist x=0 [mm] \in [/mm] X.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Fr 22.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Allgemein gilt:
ist (Y,d) ein vollständiger metrischer Raum und X eine nichtleere Teilmenge von Y, so gilt:
[mm] (X,d_{| X}) [/mm] ist vollständig [mm] \gdw [/mm] X ist eine abgeschlossene Teilmenge von Y.
Beweis ?
Zur Aufgabe:
in a) ist X abgeschlossen.
in b) ist 0 ein Häufungspunkt von X, aber 0 [mm] \notin [/mm] X. X ist also nicht abgeschlossen.
in c) ist X abgeschlossen.
in d) ist X nicht abgeschlossen, denn [mm] \overline{X}= \IR \ne [/mm] X.
FRED
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