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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:38 So 15.05.2011 | | Autor: | Grass |
| Aufgabe | Sei [mm] (\IR^{D},d) [/mm] mit [mm] \begin{cases} d(x,y)=0, & \mbox{für } x=y \\ d(x,y)=||x||_{2}+||y||_{2}, & \mbox{für } x\not=y \end{cases} [/mm] ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass für O [mm] \subset \IR^{D} [/mm] die folgenden zwei Aussagen äquivalent sind:
(a) O ist d-offen
(b) Entweder gilt 0 [mm] \not\in [/mm] O oder es gibt ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit [mm] B_{d_{2}} \subset [/mm] O. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey.
Ich komm bei der Aufgabe leider nicht weiter,aber hier mein Ansatz.
Sei O [mm] \subseteq /IR^D.
[/mm]
Hinrichtung:
O d-offen
[mm] \Leftrightarrow \IR^D \O [/mm] abgeschlossen
[mm] \Leftrightarrow (x_n) [/mm] Folge in [mm] \IR^D \O: x_n \to [/mm] x [mm] \in \IR^D \O
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \begin{cases} x_n \to x \not= 0 \\ x_n \to 0 \end{cases}
[/mm]
Weiter komm ich leider nicht, aber ich habe mir für die Rückrichtugn eine Überlegung gemacht:
Rückrichtung:
[mm] \exists \varepsilon [/mm] >0: [mm] B_{d_{2}} (0,\varepsilon) \subset [/mm] O
[mm] \Leftrightarrow (\exists \varepsilon [/mm] >0: [mm] d_{2}(x,0) \le \varepsilon \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] O)
[mm] \Leftrightarrow (\exists \varepsilon [/mm] >0: [mm] \|x-0\|_2 \le \varepsilon \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] O)
[mm] \Leftrightarrow (\exists \varepsilon [/mm] >0: [mm] \|x\|_2+\|0\|_2 \le \varepsilon \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] O)
[mm] \Leftrightarrow (\exists \varepsilon [/mm] >0: d(x,0) [mm] \le \varepsilon \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] O) ,da für x=0 [mm] d(x,0)=0=\|0\|_2+\|0\|_2
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \exists \varepsilon [/mm] >0: [mm] B_{d} (0,\varepsilon) \subset [/mm] O
Wäre über einen Hinweis sehr dankbar.
Gruß
Grass
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 17.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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