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| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum.
a)Zeige, dass [mm] d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2))= max\{d(x_1,x_2),d(y_1,y_2) \} [/mm] eine Metrik auf XxX ist.
b) Zeige, dass d [mm] :XxX\to\IR [/mm] stetig ist, wenn wir auf XxX die Metrik [mm] d_2 [/mm] und wie üblich auf [mm] \IR [/mm] die Metrik d(a,b)=|a-b| verwenden. |
Hallo Zusammen
Ich habe in Analysis die obige Aufgabe erhalten. Nun habe ich aber einige Verständnisprobleme, da ich nicht hundertprozentig sicher bin, was eine Metrik "ausgedeutscht" genau ist. Habe dies vorher noch nie gesehen...
zu a) Ich weiss, dass ich die Metrikaxiome verwenden muss um zu beweisen, dass [mm] d_2 [/mm] eine Metrik auf XxX ist. Nun bin ich mir aber gar nicht sicher was [mm] d_2 [/mm] genau ist. Ist dies der "Abstand" von [mm] (x_1 [/mm] zu [mm] y_1)zu(x_2 [/mm] zu [mm] y_2)? [/mm] und ist das max....
der maximum der Abstände von [mm] x_1 [/mm] zu [mm] x_2 [/mm] und [mm] y_1 [/mm] zu [mm] y_2....
[/mm]
wie kann ich die Begriffe genau verstehen???
zu b)Hier habe ich nun gar keine Ahnung wie ich anfangen soll,...
Danke für eure Hilfe
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Hi,
das kart. Produkt zweier Mengen kannst du in LaTeX schreiben mit \times
> Sei (X,d) ein metrischer Raum.
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> a)Zeige, dass [mm]d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2))= max\{d(x_1,x_2),d(y_1,y_2) \}[/mm]
> eine Metrik auf XxX ist.
>
> b) Zeige, dass d [mm]:XxX\to\IR[/mm] stetig ist, wenn wir auf XxX
> die Metrik [mm]d_2[/mm] und wie üblich auf [mm]\IR[/mm] die Metrik
> d(a,b)=|a-b| verwenden.
> Hallo Zusammen
>
> Ich habe in Analysis die obige Aufgabe erhalten. Nun habe
> ich aber einige Verständnisprobleme, da ich nicht
> hundertprozentig sicher bin, was eine Metrik
> "ausgedeutscht" genau ist. Habe dies vorher noch nie
> gesehen...
Eine Metrix Metrik ist eine (Abstands-)Funktion $ d: X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] d(x,y) $.
Mit folgenden Eigenschaften:
1. $ d(x,y) = 0 [mm] \gdw [/mm] x = y $
2. $ [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X : d(x,y) = d(y,x) $ (Symmetrie)
3. $ [mm] \forall [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] X : d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y) + d(y,z) $ (Dreiecksungleichung)
$\ d(x,y) $ ist der Abstand der Punkte $\ x,y $.
Du hast also den metr. Raum $ (X,d) $ mit $ [mm] d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2))= \max\{d(x_1,x_2),d(y_1,y_2) \} [/mm] $
Du weißt, dass $\ [mm] d(x_1,x_2) [/mm] $ der Abstand zwischen $ [mm] x_1, x_2 [/mm] $ ist.
Also ist $\ [mm] \red{ \max\{d(x_1,x_2),d(y_1,y_2) \}} [/mm] $ einfach der größere Abstand von $\ [mm] d(x_1,x_2), d(y_1,y_2)$. [/mm] Konkret:
$ [mm] \max\{d(x_1,x_2),d(y_1,y_2) \} [/mm] = [mm] \begin{cases} d(x_1,x_2), & \mbox{falls} \ d(x_1,x_2) \ge d(y_1,y_2) \\ d(y_1,y_2), & \mbox{sonst} \end{cases}$ [/mm]
Jetzt prüfe einfach die Axome 1-3 nach. Fange an mit 1:
1) $ [mm] d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)) [/mm] = 0 [mm] \gdw (x_1,y_1) [/mm] = [mm] (x_2,y_2) [/mm] $
Sei $ [mm] d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)) [/mm] = 0 $. Dann ist insbesondere $ [mm] \max\{d(x_1,x_2),d(y_1,y_2) \} [/mm] = 0$.
Da $ d $ eine Metrik auf $ X $ ist, gilt insbesondere $ d(x,y) [mm] \ge [/mm] 0 $, also ist $ [mm] d(x_1,x_2) [/mm] = [mm] d(y_1,y_2) \red{= 0} [/mm] $.
Aus (1) folgt für d dann, dass $ [mm] \red{(x_1 = x_2 )\wedge( y_1 = y_2) \Rightarrow (x_1,y_1) = (x_2,y_2)} [/mm] $
Sei umgekehrt $ [mm] \red{(x_1,y_1) = (x_2,y_2)} [/mm] $.
Dann gilt $ [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 \wedge y_1 [/mm] = [mm] y_2 [/mm] $. Daraus folgt $ [mm] d(x_1, x_2) [/mm] = 0 = [mm] d(y_1, y_2) [/mm] $.
Insbesondere gilt dann $ [mm] \max\{d(x_1,x_2),d(y_1,y_2) \} [/mm] = 0 $ und somit $ [mm] d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)) [/mm] = 0 $.
Axiom II und III überlass' ich Dir.
>
> zu a) Ich weiss, dass ich die Metrikaxiome verwenden muss
> um zu beweisen, dass [mm]d_2[/mm] eine Metrik auf XxX ist. Nun bin
> ich mir aber gar nicht sicher was [mm]d_2[/mm] genau ist. Ist dies
> der "Abstand" von [mm](x_1[/mm] zu [mm]y_1)zu(x_2[/mm] zu [mm]y_2)?[/mm] und ist das
> max....
> der maximum der Abstände von [mm]x_1[/mm] zu [mm]x_2[/mm] und [mm]y_1[/mm] zu
> [mm]y_2....[/mm]
> wie kann ich die Begriffe genau verstehen???
>
> zu b)Hier habe ich nun gar keine Ahnung wie ich anfangen
> soll,...
>
> Danke für eure Hilfe
zu b) lass ich das teilw. geöffnet. Müsste ich mir erst was überlegen und muss bald los.
Falls was unklar ist, frag einfach.
Viele Grüße
ChopSuey
******EDIT:
Hab' die Antwort an einigen Stellen korrigieren müssen. Haben sich wie gesagt Fehler beim hin- und herkopieren eingeschlichen.
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Hallo ChopSuey
Vielen Dank für deine Hilfe. Ich konnte die Punkte II und III nun bearbeiten.
Es wäre wirklich super wenn du mir bei 1b)
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> > > Sei (X,d) ein metrischer Raum.
> >
> > a)Zeige, dass [mm]d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2))= max\{d(x_1,x_2),d(y_1,y_2) \}[/mm]
> > eine Metrik auf XxX ist.
> >
> > b) Zeige, dass d [mm]:XxX\to\IR[/mm] stetig ist, wenn wir auf XxX
> > die Metrik [mm]d_2[/mm] und wie üblich auf [mm]\IR[/mm] die Metrik
> > d(a,b)=|a-b| verwenden.
auch noch etwas weiterhelfen könntest.
Ich schreibe nun zuerst mal hin, was ich bereits weiss.
Ich muss zeigen, das für alle [mm] (x_1,x_2)\in [/mm] X [mm] \times [/mm] X [mm] \forall \varepsilon>0 \exists\delta>0 \forall(y_1,y_2)\in [/mm] X [mm] \times [/mm] X : [mm] d_2((y_1,y_2),(x_1,x_2))<\delta \Rightarrow |d(x_1,x_2)-(y_1,y_2)|<\varepsilon
[/mm]
Nun den "Anfang" habe ich:
Seien [mm] (x_1,x_2)\in [/mm] X [mm] \times [/mm] X und sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] vorgegeben, ....
und nun muss ich ein [mm] \delta>0 [/mm] finden, welches die Stetigkeitsbedingung von oben erfüllt...
aber wie ich das genau machen soll habe ich leider keine Ahnung..
wäre wirklich froh um jede Hilfe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Do 28.10.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hi nochmal,
ich hab gerade festgestellt, dass sich in meiner ersten Antwort durchs "copy and pasten" ein paar Fehler eingeschlichen haben, die fuer Verwirrung sorgen koennten. Entschuldige bitte. Wenn ich daheim bin besser ich das aus.
Edit: erste Antwort korrigiert.
Viele Gruesse
ChopSueY
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Fr 29.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo ChopSuey
>
> Vielen Dank für deine Hilfe. Ich konnte die Punkte II und
> III nun bearbeiten.
>
> Es wäre wirklich super wenn du mir bei 1b)
> >
> > > > Sei (X,d) ein metrischer Raum.
> > >
> > > a)Zeige, dass [mm]d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2))= max\{d(x_1,x_2),d(y_1,y_2) \}[/mm]
> > > eine Metrik auf XxX ist.
> > >
> > > b) Zeige, dass d [mm]:XxX\to\IR[/mm] stetig ist, wenn wir auf XxX
> > > die Metrik [mm]d_2[/mm] und wie üblich auf [mm]\IR[/mm] die Metrik
> > > d(a,b)=|a-b| verwenden.
>
> auch noch etwas weiterhelfen könntest.
>
> Ich schreibe nun zuerst mal hin, was ich bereits weiss.
>
> Ich muss zeigen, das für alle [mm](x_1,x_2)\in[/mm] X [mm]\times[/mm] X
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists\delta>0 \forall(y_1,y_2)\in[/mm] X
> [mm]\times[/mm] X : [mm]d_2((y_1,y_2),(x_1,x_2))<\delta \Rightarrow |d(x_1,x_2)-(y_1,y_2)|<\varepsilon[/mm]
>
> Nun den "Anfang" habe ich:
>
> Seien [mm](x_1,x_2)\in[/mm] X [mm]\times[/mm] X und sei [mm]\varepsilon>0[/mm]
> vorgegeben, ....
>
> und nun muss ich ein [mm]\delta>0[/mm] finden, welches die
> Stetigkeitsbedingung von oben erfüllt...
>
> aber wie ich das genau machen soll habe ich leider keine
> Ahnung..
>
> wäre wirklich froh um jede Hilfe
Tipp: da d nie negativ werden kann, ist
[mm] |d(x_1,x_2)-d(y_1,y_2)| \le d(x_1,x_2) [/mm], wenn [mm] $d(x_1,x_2)\ge d(y_1,y_2)$,
[/mm]
und
[mm] |d(x_1,x_2)-d(y_1,y_2)| \le d(y_1,y_2) [/mm], wenn [mm] $d(x_1,x_2)\le d(y_1,y_2)$.
[/mm]
Kannst du diese beiden Ungleichungen zusammenfassen, vielleicht mit [mm] $\max$ [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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