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| Aufgabe | Bestimmen Sie ob die Paare (X,d) die Axiome eines metrischen Raums erfüllen
[mm] X=\IR [/mm] und [mm] d(x,y)=(x-y)^2 [/mm] |
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich grade mit der Aufgabe und wäre echt froh wenn mir jemand etwas helfen könnte.
Also damit das Paar ein metrischer Raum ist müssen folgende Axiome erfüllt sein:
1) d(x,y)=0 => x=y
2)d(x,y)=d(y,x)
3)d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y)+d(y,z)
so jetzt habe ich dann folgendermaßen begonnen
1) [mm] d(x,y)=(x-y)^2 [/mm] =0
=>x-y=0
=>x=y
erstes Axiom erfüllt
2) [mm] (x-y)^2=(y-x)^2
[/mm]
=>x-y=y-x
=>2x=2y
=>x=y
hierbei bin ich mir allerdings nicht sicher..
3) ich weiß jetzt nicht genau wie ich die dreiecksungleichung zeigen soll bzw kann
muss ja irgendwie zum schluss auf das ergebnis [mm] (x-z)^2 \le (x-y)^2+(y-z)^2 [/mm] kommen..gibts da vllt einen "trick" der mir weiterhelfen kann?
danke schonmal!
Gruß,
Kekschen
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Hallo Kampfkekschen,
> Bestimmen Sie ob die Paare (X,d) die Axiome eines
> metrischen Raums erfüllen
>
> [mm]X=\IR[/mm] und [mm]d(x,y)=(x-y)^2[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich beschäftige mich grade mit der Aufgabe und wäre echt
> froh wenn mir jemand etwas helfen könnte.
>
> Also damit das Paar ein metrischer Raum ist müssen
> folgende Axiome erfüllt sein:
> 1) d(x,y)=0 => x=y
Na, entweder 1a) [mm]d(x,x)=0[/mm] und 1b) [mm]d(x,y)=0\Rightarrow x=y[/mm] oder 1) [mm]d(x,y)=0\gdw x=y[/mm]
> 2)d(x,y)=d(y,x)
> 3)d(x,z) [mm]\le[/mm] d(x,y)+d(y,z)
>
> so jetzt habe ich dann folgendermaßen begonnen
> 1) [mm]d(x,y)=(x-y)^2[/mm] =0
> =>x-y=0
> =>x=y
> erstes Axiom erfüllt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und die Richtung [mm]x=y\Rightarrow d(x,y)=0[/mm] noch ...
>
> 2) [mm](x-y)^2=(y-x)^2[/mm]
> =>x-y=y-x
Wieso? Zunächst mal ist doch [mm]\sqrt{a^2}[/mm] doch [mm]|a|[/mm]
Also [mm]\sqrt{(x-y)^2}=|x-y|[/mm] und analog auf der anderen Seite!
So kannst du ansetzen, da der Betrag symmetrisch ist (ist ja eine Metrik auf [mm]\IR[/mm])
Alternativ:
[mm]d(x,y)=(x-y)^2=\left[(-1)\cdot{}(y-x)\right]^2=(-1)^2\cdot{}(y-x)^2=(y-x)^2=d(y,x)[/mm]
> =>2x=2y
> =>x=y
> hierbei bin ich mir allerdings nicht sicher..
>
> 3) ich weiß jetzt nicht genau wie ich die
> dreiecksungleichung zeigen soll bzw kann
> muss ja irgendwie zum schluss auf das ergebnis [mm](x-z)^2 \le (x-y)^2+(y-z)^2[/mm]
> kommen..gibts da vllt einen "trick" der mir weiterhelfen
> kann?
Naja, eigentlich "sieht" man doch schon durch scharfes Hingucken, dass das wohl nicht klappen kann für alle reellen Zahlentripel.
Probiere mal als Gegenbsp. [mm]x=4, y=3, z=1[/mm]
>
> danke schonmal!
> Gruß,
> Kekschen
LG
schachuzipus
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okay danke für die erklärungen!
hab jetzt noch ein weiteres beispiel bearbeitet und wollte mal fragen obs so richtig ist:
Sei X= [mm] \IR^n d((x_1,...,x_n),(y_1,..,y_n))=|x_1-y_1|
[/mm]
also 1a) [mm] d((x_1,...,x_n),(x_1,..,x_n)= |x_1-x_1|=|0|=0
[/mm]
1b) [mm] d((x_1,...,x_n),(y_1,..,y_n)=0
[/mm]
=> [mm] |x_1-y_1|=0 [/mm] => [mm] x_1-y_1=0 [/mm] => [mm] x_1=y_1
[/mm]
jetzt das zweite Axiom:
2) [mm] d((x_1,...,x_n),(y_1,..,y_n)= |x_1-y_1|= |(-1)(y_1-x_1)|= |(-1)|*|y_1-x_1|= |y_1-x_1|= d((y_1,...,y_n),(x_1,..,x_n)
[/mm]
3) [mm] d((x_1,...,x_n),(z_1,..,z_n) \le d((x_1,...,x_n),(y_1,..,y_n) [/mm] + [mm] d((y_1,...,y_n),(z_1,..,z_n)
[/mm]
=> [mm] d((x_1,...,x_n),(z_1,..,z_n)= |x_1-z_1|= |(x_1-y_1)+(y_1-z_1)| \le |x_1-y_1|+|y_1-z_1| [/mm] = [mm] d((x_1,...,x_n),(y_1,..,y_n))+d((y_1,...,y_n),(z_1,..,z_n))
[/mm]
also sind die Axiome erfüllt, dass heißt das Paar (X,d) ist ein metrischer Raum
kann man das so machen?
Gruß,
Kekschen
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Hallo Kampfkekschen,
> okay danke für die erklärungen!
> hab jetzt noch ein weiteres beispiel bearbeitet und wollte
> mal fragen obs so richtig ist:
>
> Sei X= [mm]\IR^n d((x_1,...,x_n),(y_1,..,y_n))=|x_1-y_1|[/mm]
>
> also 1a) [mm]d((x_1,...,x_n),(x_1,..,x_n)= |x_1-x_1|=|0|=0[/mm]
> 1b)
> [mm]d((x_1,...,x_n),(y_1,..,y_n)=0[/mm]
> => [mm]|x_1-y_1|=0[/mm] => [mm]x_1-y_1=0[/mm] => [mm]x_1=y_1[/mm]
Es gibt aber auch Punkte [mm]x \not= y, \ x,y \in \IR^{n}[/mm],
die den Abstand 0 haben.
Beispiel: n=2
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2}}=\pmat{1 \\ 0}, \ \pmat{y_{1} \\ y_{2}}=\pmat{1 \\ 1}[/mm]
Dann ist
[mm]d((x_1,x_2),(y_1,y_2)=\vmat{1-1}=0[/mm]
obwohl [mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2}} \not= \pmat{y_{1} \\ y_{2}}[/mm]
>
> jetzt das zweite Axiom:
> 2) [mm]d((x_1,...,x_n),(y_1,..,y_n)= |x_1-y_1|= |(-1)(y_1-x_1)|= |(-1)|*|y_1-x_1|= |y_1-x_1|= d((y_1,...,y_n),(x_1,..,x_n)[/mm]
>
> 3) [mm]d((x_1,...,x_n),(z_1,..,z_n) \le d((x_1,...,x_n),(y_1,..,y_n)[/mm]
> + [mm]d((y_1,...,y_n),(z_1,..,z_n)[/mm]
> => [mm]d((x_1,...,x_n),(z_1,..,z_n)= |x_1-z_1|= |(x_1-y_1)+(y_1-z_1)| \le |x_1-y_1|+|y_1-z_1|[/mm]
> =
> [mm]d((x_1,...,x_n),(y_1,..,y_n))+d((y_1,...,y_n),(z_1,..,z_n))[/mm]
>
> also sind die Axiome erfüllt, dass heißt das Paar (X,d)
> ist ein metrischer Raum
Für welche n das ein metrischer Raum ist, ist noch zu prüfen.
> kann man das so machen?
>
> Gruß,
> Kekschen
Gruss
MathePower
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Okay das hab ich übersehen! Danke für die Hilfe! :)
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