minima, maxima < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie f : R nach R : (x, y) nach y2 − y + x2 auf lokale Minima und
Maxima |
normal mach ich das doch ganz normal mit der kurvendiskussion, ableitungen etc. aber mich irritiert, dass ich hier y und x habe. wie mach ich das denn nun?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo,
[mm] f(x,y)=y^{2}-y+x^{2}
[/mm]
bilde die partiellen Ableitungen, nach y betrachtest du x als Konstante, nach x betrachtest du y als Konstante,
ermittle dann die kritischen Punkte und gehe zur Hesse-Matrix,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
ich raff das net so ganz, ich hab jetzt nach y und danach nach x abgeleitet: f(y)´= [mm] 2y-1+x^2 [/mm] ; [mm] f(x)`=y^2-y+2x [/mm] muss ich die jetzt beide null setzen und die jeweilige nach x bzw. y auflösen? ( die die ich nach x abgeleitet hab nach x auflösen und so weiter?)
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> ich raff das net so ganz, ich hab jetzt nach y und danach
> nach x abgeleitet: f(y)´= [mm]2y-1+x^2[/mm] ; [mm]f(x)'=y^2-y+2x[/mm] muss
> ich die jetzt beide null setzen und die jeweilige nach x
> bzw. y auflösen? ( die die ich nach x abgeleitet hab nach x
> auflösen und so weiter?)
Hallo,
Deine Ableitungen stimmen nicht.
Deine Funktion [mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm]
ist ja definiert durch
[mm] f(x,y):=y^2-y+x^2.
[/mm]
Wenn Du jetzt partiell nach x ableitest, also [mm] f_x(x,y) [/mm] berechnest, mußt Du so tun, als wäre y irgendeine Zahl, stell Dir z.B. vor, statt y stünde da 5.
Wie leitest Du das nach x ab? [mm] y^2 [/mm] und y verschwinden dann ja.
(Wenn Dir das nicht klar ist, leite [mm] f_5(x):=5^2 [/mm] - 5 [mm] +x^2 [/mm] nach x ab, normalerweise hilft das.)
Entsprechend beim Ableiten nach y:
Wenn Du jetzt partiell nach y ableitest, also [mm] f_y(x,y) [/mm] berechnest, mußt Du so tun, als wäre x irgendeine Zahl, stell Dir z.B. vor, statt x stünde da 7.
Wie leitest Du das nach y ab? [mm] x^2 [/mm] verschwindet dann ja.
(Wenn Dir das nicht klar ist, leite [mm] f_7(y):=y^2 [/mm] - y [mm] +7^2 [/mm] nach x ab.)
Wenn Du dann die beiden partiellen Ableitungen hast, setze sie =0 und errechne hieraus die x und y, für die die Gleichungen erfüllt sind. Damit hast Du dann Deine kritischen Punkte [mm] (x_k, y_k), [/mm] welche Deine Kandidaten für Extremwerte sind, und welche Du dann einer weiteren Untersuchung (mit der Hessematrix, wie v. Steffi21 erwähnt) unterziehst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
hm ok, dann hätte ich für x=0 und für y=0,5 raus, wie sieht denn jetzt meine hesse matrix aus? [mm] \pmat{ 2y-1 & 0.5\\ 0 & 2x } [/mm] ???
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Hallo Mara,
> hm ok, dann hätte ich für x=0 und für y=0,5 raus, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also ist [mm] $(x,y)=\left(0,\frac{1}{2}\right)$ [/mm] ein stationärer Punkt, dort könnte ein Extremum vorliegen
> wie sieht
> denn jetzt meine hesse matrix aus? [mm]\pmat{ 2y-1 & 0.5\\ 0 & 2x }[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> ???
Die Hesse-Matrix enthält die 2.partiellen Ableitungen,
Also [mm] $H_f(x,y)=\pmat{f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\f_{yx}(x,y)&f_{yy}(x,y)}$
[/mm]
Berechne also mal die 2ten partiellen Ableitungen und stelle die Hesse-Matrix für deinen berechneten stationären Punkt auf.
Dann schaue, ob sie positiv/negativ/.... definit ist. Dann hast du's
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
ja dann habe ich für die 2te ableitung f(x)´´=2 und f(y)´´= 2 ok die kann ich ja auch einsetzen, schon klar, aber was mach ich mit den [mm] f_{xy}(x,y) [/mm] und [mm] f_{yx}(x,y) [/mm] wo bekom ich die her? da bekomm ich ja garnix raus?! oder steh ich mal wieder aufm schlauch? ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
ja das mein ich ja, wie soll ich y ableiten wenn garkein y vorhanden ist. bwz x
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Mi 30.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo mara
im Falle y=2 kannst du sicher die "Steigung" des Graphen rauskriegen! in Mathe bezeichnet man diese Steigung i.A. nicht als "nix" sondern als 0!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
Also wäre meine hesse matrix [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] und die determinate dann 4 => 4 ist positiv => ich hab ein maxima und minima hab ich dann keine oder wie? und wie schreibt man das dann am schluss ausformuliert...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
also wenn die zahl positiv ist hab ich ein minima und wenn se negativ is dann ein maxima :) ok, danke aber dann kann ich ja nie ein minima UND ein maxima haben oder? weil ich ja für x und für y immer nur einen wert rausbekomme. also müsste ich im endeffekt immer nur kucken ob ein Minima ODER ein maxima vorliegt? und was is jetzt eigentlich der unterschied zwischen lokal und global? rechne ich das globale anders aus? sorry für meine tausend fragen. :)
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Hallo,
bevor wir uns um die Sache als solche kümmern: es heißt "ein Minimum" und "viele Minima", Extremum und Maximum anlog - meine Ohren kringeln sich nämlich beim Lesen.
> also wenn die zahl positiv ist hab ich ein minima und wenn
> se negativ is dann ein maxima :)
Nein.
Wenn bei Deiner 2x2-Hessematrix
- die Determinante positiv ist und gleichzeitig der linke obere Eintrag positiv, hast Du ein Minimum
- die Determinante positiv ist und gleichzeitig der linke obere Eintrag negativ, hast Du ein Maximum
- die Determinante negativ ist, hast Du einen Sattelpunkt
- die Determinante =0 ist, kannst Du es nicht mithilfe der Hessematrix entscheiden.
> aber dann kann
> ich ja nie ein minima UND ein maxima haben oder?
Doch, Du könntest ja bei irgendeiner anderen Funktion g die kritischen Punkte [mm] P_1(2,1) [/mm] und [mm] P_2(-2,1) [/mm] errechnet haben, und die Hessematrix könnte lauten
[mm] H_g(x,y)=\pmat{ x & y \\ y & x }.
[/mm]
Dann wäre
[mm] H_g(2,1)=\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }, [/mm]
[mm] detH_g(2,1)=3. [/mm] links oben 2, also Minimum bei (2,2).
[mm] H_g(-2,1)=\pmat{ -2 & 1 \\ 1 & -2 }, [/mm]
[mm] detH_g(-2,1)=3. [/mm] links oben -2, also Maximum bei (2,2)
> unterschied zwischen lokal und global?
Da, wo der Humbergturm steht, haben wir ein lokales Maximum.
Betrachten wir die Gipfel weltweit, stellen wir fest, daß es höhere gibt. Der höchste dieser Gipfel ist das globale Maximum.
Nun kann man, wenn man abgeschlossene Gebiete untersucht (Randbedingungen! Grenzen, "Zäune"), aber auch den Fall haben, daß man ein globales Maximum findet, welches kein lokales ist.
Ich habe das neulich mal jemandem erklärt, ich kopier's hier rein:
"Noch etwas anderes kann passieren: Du könntest hier Hochpunkte finden, die keine relativen Extrema sind, weil vielleicht die Funktion f außerhalb des Bereiches, den wir betrachten, noch weiter ansteigt, aber ein Punkt auf unserem Rand der höchste des betrachteten Gebietes ist.
(Stell Dir vor, wir würden zusammen Urlaub in den Bergen machen, verbunden mit dem Wettbewerb, wer von uns höher klettert. Stell Dir vor, ich triumphiere, weil ich auf dem Gipfel A stehe, und weil ich weiß, daß Du es nicht geschafft hast, zum Gipfel B zu kommen. Da zückst Du Dein GPS, freust Dich und teilst mir per Handy mit, daß Du zwar nicht auf dem Gipfel stehst, aber doch 50 m höher als ich.)"
> rechne ich das
> globale anders aus?
Sofern Du Deine Funktionen auf offenen Gebieten betrachtest, typischerweise (für BWL) auf dem [mm] \IR^2, [/mm] rechnest Du das nicht anders. Du bestimmst alle Maxima und guckst, welches das größte von ihnen ist.
Wenn Du eine Funktion mit Nebenbedingungen wie x+y=7 oder [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 5 untersuchen sollst, mußt Du neben den lokalen Extremwerten noch die Extremstellen des Randes bestimmen (Lagrange-Methode). Falls Ihr das noch nicht hattet: vergiß es zunächst.
Falls Du Dich auf die Klausur vorbereitest: das mußt Du können.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
ok danke, alles verstanden. ok nur mal zum verständnis. ich soll die gleiche aufgabenstellung rechnen wie oben, nur diesmal auf globale minima bzw maxima untersuchen. Da ich ja für die oben genannte aufgabe nur ein minimum habe is das dann doch logischerweise auch mein globales minimum, oder liege ich da falsch, habe nähmlich keine grenzen gegeben, wie gesagt is die aller gleiche aufgabenstellung wie oben.
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Hallo,
wenn es wirklich genau die Aufgabe ist, ohne irgendwelche einschränkenden Bedingungen, ist das einzige lokale Minimum, welches es gibt, das globale.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
ok scheine es endlich kapiert zu haben, danke nochma :)
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