mit Satz des Thales < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:11 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Gegeben sind div. Größen von insges. 6 "verschiedenen" Dreiecken.
Konstruiere mit Thales. Wann gibt es zwei nicht kongruente Lösungen?
a) c=5 cm, b= 3cm, [mm] \gamma\ [/mm] = 90 Grad
b) c=4 cm, h auf c = 1,5 cm, [mm] \gamma\ [/mm] =90 Grad
c) b=5 cm, a=3,5 cm, [mm] \beta\ [/mm] = 90 Grad
d) a=7 cm, alpha 90 Grad, [mm] \gamma\ [/mm] = 70 Grad
e) a=6 cm, h auf a = 3 cm, [mm] \alpha\ [/mm] = 90 Grad
zum Lösen: Phytagoras, Satz des Thales, ABER KEINE WINKEL-FKT (sin. cos. und tan)
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Ich könnte fluchen, schimpfen, schreien über diese Kack-Aufg.
1) Grad habe ich im Formel-Editor nicht gefunden. Wie ist
die Übersetzg. für Grad?
2.) Wie ich a) konstruiert habe: die Hypothenuse c mit 5 cm
gezeichnet, die Mitte gekennzeichnet, da den Zirkel reinge-
stochen u. die Eckpkte. A und B durchkreist. Dann mit dem Geo
die Sehne 3 cm gesucht, eingezeichnet u. die letzte Seite
ergibt sich dann ganz einfach daraus. Ich messe für die dritte
Seite 4 cm.
Zus.fassg.: Daten des Dreiecks a)
a=4 cm
b=3 cm
c=5 cm
1 rechter Winkel
Ist das richtig?
3.) Könnte ich hier an dieser Stelle schon aufhören? Weil die
ersten beiden Dreiecke a) und b) nicht kongruent sind, weil
es eine Abweichung der Größen gibt?
(ich mache trotzdem mal weiter, vielleicht ist mir ja auch ein
Fehler unterlaufen): Wie ich b) konstruiert habe: die H mit
4 cm gezeichnet, die Mitte gekennzeichnet, da Zirkel reinge-
stochen u. die Eckpkte. durchkreist. Dann zur H eine Parallele
im Abstand 1,5 cm, dann ergibt es 2 Schnittpunkte auf dem
Kreisbogen. Einen nehme ich (egal welcher) u. ziehe die bei-
den Sehnen zu A und zu B.
Zus.fassg.: Daten des Dreiecks b)
a=3,2 cm
b=1,8 cm
c=4 cm
1 rechter Winkel
4.) Sind die Werte richtig?
5.) Wenn richtig, dann sind die ersten beiden Dreiecke
NICHT kongruent. Die Bezeichnung der Seiten kann ja
varieren, das ist wurscht, aber die Zahlen MÜSSEN iden-
tisch sein.
6.) Dreieck c) habe ich gar nicht konstruiert, weil die Zahlen /
Größen (5 cm und 3,5 cm) in bisher keinem Dreieck vorkommen.
ABER so geht es mit allen anderen restlichen Dreiecken eben
auch weiter. Ich erhalte 6 verschiedene Dreiecke, von denen
keines zu einem anderen kongruent ist. Ich habe jetzt auch
nochmal "kongruent" nachgeschlagen, vielleicht hatte ich mir
da was falsch gemerkt. Aber nee.
7.) Solltet Ihr mit mir übereinstimmen, dass es 6 verschiedene
sind, dann ist die Antw. "es gibt gar keine Kongruenz." Ja,
richtig so?
UAH - Die Aufg. ist echt umfangreich.
Ich rechne derweil weiter u. schau zwischendurch immer mal.
DANKE!!!
LG
Sabine
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> Gegeben sind div. Größen von insges. 6 "verschiedenen"
> Dreiecken.
> Konstruiere mit Thales. Wann gibt es zwei nicht kongruente
> Lösungen?
> a) c=5 cm, b= 3cm, [mm]\gamma\[/mm] = 90 Grad
> b) c=4 cm, h auf c = 1,5 cm, [mm]\gamma\[/mm] =90 Grad
> c) b=5 cm, a=3,5 cm, [mm]\beta\[/mm] = 90 Grad
> d) a=7 cm, alpha 90 Grad, [mm]\gamma\[/mm] = 70 Grad
> e) a=6 cm, h auf a = 3 cm, [mm]\alpha\[/mm] = 90 Grad
> zum Lösen: Phytagoras, Satz des Thales, ABER KEINE
> WINKEL-FKT (sin. cos. und tan)
Sollen die Dreiecke nur konstruiert oder ihre Seiten-
längen auch berechnet werden ?? (wenn Pythagoras
dasteht, wohl auch rechnen !)
> 1) Grad habe ich im Formel-Editor nicht gefunden. Wie ist
> die Übersetzg. für Grad?
>
> 2.) Wie ich a) konstruiert habe: die Hypotenuse c mit 5 cm
> gezeichnet, die Mitte gekennzeichnet, da den Zirkel reinge-
> stochen u. die Eckpkte. A und B durchkreist. Dann mit dem
> Geo
> die Sehne 3 cm gesucht, eingezeichnet u. die letzte Seite
> ergibt sich dann ganz einfach daraus. Ich messe für die
> dritte Seite 4 cm.
Das solltest du wohl auch rechnerisch bestätigen, nicht nur
abmessen !
Den Hypotenusen-Mittelpunkt kann man auch mittels
Zirkel und Lineal konstruieren. Die Sehne solltest du wohl
auch mit dem Zirkel abtragen, falls die Konstruktion
auch mit bewertet wird !
> Zus.fassg.: Daten des Dreiecks a)
> a=4 cm
> b=3 cm
> c=5 cm
> 1 rechter Winkel
> Ist das richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(und es gibt hier keine nicht-kongruenten Lösungen)
> 3.) Könnte ich hier an dieser Stelle schon aufhören? Weil
> die ersten beiden Dreiecke a) und b) nicht kongruent sind,
> weil es eine Abweichung der Größen gibt?
Nein. Siehe die Bemerkung unten !
> Wie ich b) konstruiert habe: die H mit
> 4 cm gezeichnet, die Mitte gekennzeichnet, da Zirkel
> reinge-
> stochen u. die Eckpkte. durchkreist. Dann zur H eine
> Parallele
> im Abstand 1,5 cm, dann ergibt es 2 Schnittpunkte auf dem
> Kreisbogen. Einen nehme ich (egal welcher) u. ziehe die
> beiden Sehnen zu A und zu B.
Es gibt aber hier doch zwei Lösungen ! Sie sind
aber nur spiegelverkehrt, also immer noch kongruent
(falls Spiegelungen zugelassen sind).
> Zus.fassg.: Daten des Dreiecks b)
> a=3,2 cm
> b=1,8 cm
> c=4 cm
> 1 rechter Winkel
> 4.) Sind die Werte richtig?
sicher nicht exakt ! (das kannst du mit Pythagoras nachrechnen)
......
......
......
Hallo Sabine,
zuerst mal:
die Frage nach kongruenten Lösungen ist sicher so
gemeint, dass man bei jeder einzelnen Aufgabe
angeben soll, ob die Lösung bis auf Kongruenz eindeutig
ist oder ob es zwei nicht kongruente Lösungen gibt.
Du musst also nicht a mit b, c mit e vergleichen
etc.
Das Gradsymbol "°" kannst du innerhalb eines gewöhn-
lichen Textes einfach von deiner Tastatur nehmen. Das
ist sicher irgendwo vorhanden. Innerhalb einer Formel
kriegt man es mit ^{\circ} , also ein hochgestelltes
Kreislein.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Al-Chwarizmi,
dass ich immer von so professionellen Leute Antw. bekomme,
whow!!! Toll, danke!
<Sollen die Dreiecke nur konstruiert oder ihre Seitenlängen
<auch berechnet werden? (wenn Pythagoras dasteht, wohl
<auch rechnen!)
Der genaue Wortlaut der Aufg. liegt mir nicht mehr vor, aber
die Aufg. spricht nur von KONSTRUIEREN mit Thales.
Den Phytagoras habe ich da rein gebracht, weil der Schüler
den kann, aber Winkel-Fkt. noch nicht kennt.
Trotzdem werde ich jetzt alles nochmal so machen, wie du
sagst. Nämlich, das erste Dreieck a) rechnerisch bestätigen
Ja, a=4 cm wird mit Phytagoras bestätigt.
Das zweite Dreieck b), das habe ich erneut konstruiert u.,
wie du sagst, auch die Sehne mit dem Zirkel abgetragen.
(ist ja geil, ich weiß seit gestern erst, was eine Sehne
ist u. habe auch gestern erst Thales kennengelernt. Und
bin begeistert, wie ich einfach nur durch irgendwie machen;
wie sich auch da die beiden anderen Eckpunkte mit dem
Zirkel so easy ergeben). Das ergibt die gleichen Eckpunkte
wie mit meiner Parallelen. Ich habe alles doppelt so lang
gemacht, damit eine Ungenauigkeit weniger auffällt. Dann
am Ende wieder halbiert u. ich komme beim zweiten Dreieck
b nun zu folgenden Größen:
b=1,5 cm (korrigiert
a=3,2 cm (ist geblieben)
Nun nehme ich (dein Tipp) Phytagoras zur Hilfe, um das zu
kontrollieren. Aber das geht doch gar nicht, selbst, wenn
h auf c die Schnittlinie ist u. ich da 2 Dreiecke draus mache.
Ich kann bei beiden nicht Phytagoras anwenden, weil unklar
ist bei wieviel cm, bzw. wo genau, h auf c im rechten Winkel
trifft. Anders: es fehlen Größen.
Du schreibst: (und es gibt hier keine nicht-kongruenten
Lösungen.) Mich macht sowas tütelig; ich hasse deswegen
auch Aussagenlogik. Mein Schwachpunkt. Deswegen muss
ich nochmal fragen: meintest du:
(und es gibt hier kongruente Lösungen)?
<die Frage nach kongruenten Lösungen ist sicher so ge-
<meint, dass man bei jeder einzelnen Aufgabe angeben
<soll, ob die Lösung bis auf Kongruenz eindeutig ist
<oder ob es zwei nicht kongruente Lösungen gibt. Du
<musst also nicht a mit b, c mit e vergleichen etc.
Ahaaaa, deswegen habe ich auch 6 komplett voneinander
verschiedene Dreiecke erhalten. Okey, alles klar. Dann ist
es auch gar nicht so eine Mammut-Aufg., wie ich ursprüngl.
dachte.
Soweit erstmal das.
Und trotzdem kapiere ich noch nicht: „.....ob die Lösung bis
auf Kongruenz eindeutig ist oder ob es zwei nicht kongru-
ente Lösungen gibt.“
Anyway, ich werde die Aufg. mit dieser ganz neuen Aus-
richtg. erneut machen u. dann weitersehen. Brauche ich
dafür die Kongruenz-Sätze? (kann ich nicht mehr - verges-
sen)
DANKE dir!!!
Hamburg 20.11.09 - 14° (schön, aber abartig)
Jetzt gehe ich schlafen. Und morgen arbeite ich weiter.
LG
Sabine
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> dass ich immer von so professionellen Leute Antw. bekomme,
> whow!!! Toll, danke!
>
> <Sollen die Dreiecke nur konstruiert oder ihre
> Seitenlängen
> <auch berechnet werden? (wenn Pythagoras dasteht, wohl
> <auch rechnen!)
> Der genaue Wortlaut der Aufg. liegt mir nicht mehr vor,
> aber
> die Aufg. spricht nur von KONSTRUIEREN mit Thales.
> Den Phytagoras habe ich da rein gebracht, weil der
> Schüler
> den kann, aber Winkel-Fkt. noch nicht kennt.
> Trotzdem werde ich jetzt alles nochmal so machen, wie du
> sagst. Nämlich, das erste Dreieck a) rechnerisch
> bestätigen
> Ja, a=4 cm wird mit Phytagoras bestätigt.
Das h in "Pythagoras" steht hinter dem t, nicht beim P ...
> Das zweite Dreieck b), das habe ich erneut konstruiert u.,
> wie du sagst, auch die Sehne mit dem Zirkel abgetragen.
Diese Bemerkung bezog sich aber auf das Dreieck (a) !
Für (b) war die Konstruktion mit der Parallelen schon OK.
> (ist ja geil, ich weiß seit gestern erst, was eine Sehne
> ist u. habe auch gestern erst Thales kennengelernt. Und
> bin begeistert, wie ich einfach nur durch irgendwie
> machen;
> wie sich auch da die beiden anderen Eckpunkte mit dem
> Zirkel so easy ergeben). Das ergibt die gleichen Eckpunkte
> wie mit meiner Parallelen. Ich habe alles doppelt so lang
> gemacht, damit eine Ungenauigkeit weniger auffällt. Dann
> am Ende wieder halbiert u. ich komme beim zweiten Dreieck
> b nun zu folgenden Größen:
> b=1,5 cm (korrigiert ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> a=3,2 cm (ist geblieben)
> Nun nehme ich (dein Tipp) Pythagoras zur Hilfe, um das zu
> kontrollieren. Aber das geht doch gar nicht, selbst, wenn
> h auf c die Schnittlinie ist u. ich da 2 Dreiecke draus
> mache.
> Ich kann bei beiden nicht Pythagoras anwenden, weil unklar
> ist bei wieviel cm, bzw. wo genau, h auf c im rechten
> Winkel
> trifft. Anders: es fehlen Größen.
Die Kontrolle, die ich meinte, bestünde darin, nachzurechnen,
ob $\ [mm] a^2+b^2\ [/mm] =\ [mm] c^2$ [/mm] wirklich zutrifft. Die rechnerische Lösung
für (b) ginge z.B. so: Dreiecksfläche = $\ (c*h)/2\ =\ (a*b)/2$ , dazu
Pythagoras, also:
$\ a*b\ =\ c*h\ =\ 4*1.5\ =\ 6$ und $\ [mm] a^2+b^2\ [/mm] =\ [mm] c^2\ [/mm] =\ 16$
---> quadratische Gleichung; Lösung:
[mm] $\{a\,,\,b\}\ [/mm] =\ [mm] \{\,\sqrt{7}+1\approx 3.646\ ,\,\sqrt{7}-1\approx 1.646\,\}$
[/mm]
> Du schreibst: (und es gibt hier keine nicht-kongruenten
> Lösungen.) Mich macht sowas tütelig; ich hasse deswegen
> auch Aussagenlogik. Mein Schwachpunkt. Deswegen muss
> ich nochmal fragen: meintest du:
> (und es gibt hier kongruente Lösungen)?
Ich meinte es genau so, wie ich's geschrieben habe:
Die Katheten a und b dürfen vertauscht werden; es gibt also
zwei Dreiecke, allerdings sind diese nur spiegelverkehrt, also
immer noch zueinander kongruent, falls Spiegelungen wirklich
als Kongruenzabbildungen zugelassen sind.
> <die Frage nach kongruenten Lösungen ist sicher so ge-
> <meint, dass man bei jeder einzelnen Aufgabe angeben
> <soll, ob die Lösung bis auf Kongruenz eindeutig ist
> <oder ob es zwei nicht kongruente Lösungen gibt. Du
> <musst also nicht a mit b, c mit e vergleichen etc.
> Ahaaaa, deswegen habe ich auch 6 komplett voneinander
> verschiedene Dreiecke erhalten. Okey, alles klar.
> Und trotzdem kapiere ich noch nicht: „.....ob die Lösung
> bis auf Kongruenz eindeutig ist oder ob es zwei nicht kongru-
> ente Lösungen gibt.“
> Anyway, ich werde die Aufg. mit dieser ganz neuen Aus-
> richtg. erneut machen u. dann weitersehen. Brauche ich
> dafür die Kongruenz-Sätze?
Ja, eigentlich schon - aber du musst keine großen
Beweise führen, sondern nur prüfen, ob zwei Lösungen
(falls es überhaupt 2 gibt) kongruent sind oder nicht.
> DANKE dir!!!
> Hamburg 20.11.09 - 14° (schön, aber abartig)
> Jetzt gehe ich schlafen. Und morgen arbeite ich weiter.
> LG
> Sabine
Schönen neuen Tag !
Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Giraffe |
Guten Tag u. Guten Abend,
das mit Phytagoras ist mir gestern abend beim Schreiben selber auf-
gefallen; ich dachte: „Phy ist doch gesprochen Fü.“ Also, ab sofort
Pythagoras.
Bei Dreieck a)
erhalte ich nach dem Konstruieren 2 Dreiecke, nämlich eines oberhalb
meiner waagerechten Hypothenuse u. das andere gespiegelt darunter.
Folglich: Dreieck a) hat genau 2 kongruente Lösungen. So?
Bei Dreieck b)
erhalte ich 4 kongruente Dreiecke.
4, weil ich eine Parallele oberhalb der waagerechten Hypothenuse UND
eine zweite Parallele unterhalb der Hypothenuse gezeichnet habe. Auf
jeweils einer Parallele gibt es 2 Schnittpunkte mit dem Thaleskreis.
Messergebnisse:
b=1,7 cm und
a=3,6
Kontrolle mit c*h= 4*1,5 = 6 und vergleiche das Ergebnis mit meinen
Seiten a*b=3,6*1,7 = 6,12. Diese Abweichung von 1,2 mm ist doch
in Ordnung.
Und die andere Kontrolle mit Pythagoras: [mm] c^2 [/mm] = 15,85 statt 16,00.
Diese Abweichung ist doch auch akzeptabel? Du merkst ich habe deine
Prüfg. (quadrat. Gleichg. leider nicht kapiert)
Aber reicht die Antw.: „Die Konstruktion ergibt 4 kongruente Dreiecke"
nicht schon aus?
Ja, gespiegelte geometr. Figuren sind auch kongruent.
Bei Dreieck c)
geg.: Hypothenuse H = 5, a=3,5
erhalte ich mit meiner Zeichnung exakt 2 kongruente Lösungen, nicht
mehr.
Wenn das jetzt alles stimmt, dann schenke ich mir die restl. d) bis f).
Ich muss noch soviele andere Aufg. machen.
Vielen DANK f. deine Hilfe (oder die von anderen). Ich schaue gegen
20:30 nochmal.
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> Guten Tag u. Guten Abend,
> das mit Phytagoras ist mir gestern abend beim Schreiben
> selber auf-
> gefallen; ich dachte: „Phy ist doch gesprochen Fü.“
> Also, ab sofort
> Pythagoras.
>
> Bei Dreieck a)
> erhalte ich nach dem Konstruieren 2 Dreiecke, nämlich
> eines oberhalb
> meiner waagerechten Hypothenuse u. das andere gespiegelt
> darunter.
> Folglich: Dreieck a) hat genau 2 kongruente Lösungen. So?
>
> Bei Dreieck b)
> erhalte ich 4 kongruente Dreiecke.
> 4, weil ich eine Parallele oberhalb der waagerechten
> Hypothenuse UND
> eine zweite Parallele unterhalb der Hypothenuse gezeichnet
> habe. Auf
> jeweils einer Parallele gibt es 2 Schnittpunkte mit dem
> Thaleskreis.
> Messergebnisse:
> b=1,7 cm und
> a=3,6
> Kontrolle mit c*h= 4*1,5 = 6 und vergleiche das Ergebnis
> mit meinen
> Seiten a*b=3,6*1,7 = 6,12. Diese Abweichung von 1,2 mm
> ist doch
> in Ordnung.
> Und die andere Kontrolle mit Pythagoras: [mm]c^2[/mm] = 15,85 statt
> 16,00.
> Diese Abweichung ist doch auch akzeptabel?
OK. Ich habe sowieso etwas gestaunt über die
mickrigen Angaben für Konstruktionsaufgaben.
Hypotenuse 4cm, also Umkreisradius 2cm, das
ist für einigermassen genaue Konstruktionen
einfach zu klein. Vielleicht war das Ziel, dass
alle 6 Konstruktionen inkl. Beschreibung auf eine
einzige Seite passen sollten ...
> Du merkst ich habe deine
> Prüfg. (quadrat. Gleichg. leider nicht kapiert)
> Aber reicht die Antw.: „Die Konstruktion ergibt 4
> kongruente Dreiecke"
> nicht schon aus?
> Ja, gespiegelte geometr. Figuren sind auch kongruent.
>
> Bei Dreieck c)
> geg.: Hypothenuse H = 5, a=3,5
> erhalte ich mit meiner Zeichnung exakt 2 kongruente
> Lösungen, nicht
> mehr.
>
> Wenn das jetzt alles stimmt, dann schenke ich mir die
> restl. d) bis f).
Die sind auch ziemlich analog.
> Ich muss noch soviele andere Aufg. machen.
>
> Vielen DANK f. deine Hilfe (oder die von anderen). Ich
> schaue gegen
> 20:30 nochmal.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Giraffe |
DANKE DANKE DANKE
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