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| Aufgabe | Seien m,n [mm] \in \IZ [/mm] verschieden von 0. Zeigen Sie, dass die Abbildung
[mm] \alpha(mn): \IZ/mn\IZ \to \IZ/m\IZ [/mm] x [mm] \IZ/n\IZ, [/mm] k mod mn [mm] \mapsto [/mm] (k mod m, k mod n)
wohldefiniert ist. Beweisen Sie weiterhin, dass [mm] \alpha(mn) [/mm] ein Isomorphismus ist, falls m und n teilerfremd sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Im Prinzip muss ich ja nur die zweite Zuordnung (Abbildung) beweisen. Ich weiß auch, dass es für ein Beispiel funktioniert, aber wie beweise ich das allgemein? und dann verstehe ich nicht so ganz, dass mit dem Isomorphismus. Injektivität ist ja klar, aber Surjektivität? da müsste mir mal jemand helfen.
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Also, für die Wohldefiniertheit musst du ja zeigen: K [mm] \equiv [/mm] K´mod (mn) impliziert: K [mm] \equiv [/mm] K´mod(m) und K [mm] \equiv [/mm] K´mod(n) und das folgt sehr schnell aus der Defintion der Kongruenz, also K =amn +r und K´= a´mn +r für K [mm] \equiv [/mm] K´mod(mn)! Und aus der Wohldefiniertheit folgt meines Erachtens auch die Surjektivität, denn es gibt ja zu jedem Restklassenpaar [mm] (x_{m},x_{n}) [/mm] auch eine Zahl, die diese Reste hat und folglich auf das Paar abgebildet wird.....
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also ich verstehe, den ersten teil, aber das mit der surjektivität ist mir immer noch nicht klar. kannst du mir das nochmal erklären?
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Also Surjektivität heißt ja, dass jedes Paar (r, q) irgendjemanden hat, der auf es abgebildet wird. Nach dem chinesisschen Restsatz hat aber unter der Vorraussetzung, dass m und n teilerfremd sind, das Gleichungssystem
x = r mod(m) und x = q mod(n) immer eine Lösung, es gibt also einen Urbildkandidaten, dessen Restklasse mod(mn) dann wegen der Wohldefiniertheit auch auf (r,q) abgebildet wird!
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