monot.wachsend&beschränkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Eine monoton wachsende, nach oben beschränke Folge ist konvergent mit Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] =sup [mm] \{a_n|n\in\IN\} [/mm] |
Schönen guten Abend zusammen,
habe eine Frage zu dem Beweis. Ich finde die Aussage schon sehr logisch, verstehe aber eine Notation nicht ganz, von unserem Beweis.
1)Da die Folge nach oben beschränkt ist existiert ein Supremum. Definiere
[mm] s:=\{a_n|n\in\IN\}
[/mm]
2)Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0. Dann existiert ein N = [mm] N(\epsilon) [/mm] mit s- [mm] \epsilon [/mm] < [mm] a_N \le [/mm] s
3)Da die Folge monoton wächst, gilt: [mm] s-\epsilon [/mm] < [mm] a_N \le a_n \le [/mm] s [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge \IN, [/mm] d.h. [mm] |s-a_n| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
[mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N [mm] (\epsilon)
[/mm]
So: meine Frage zu Schritt 2. Was soll denn dieses [mm] N(\epsilon)= [/mm] N sein ?
N war immer unsere Grenze auf der x-Achse und [mm] \epsilon [/mm] eigentlich ein sehr kleiner Wert, auf der y-Achse. Wie passt das denn hier zusammen. In meinem Bild dazu komme ich irgendwie ins Schleudern.
Schritt 3 ist dann wieder klar, aber der 2. ist mir nicht ganz deutlich geworden.
Liebe Grüße,
die Ferolei
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Hallo,
eine Folge $\ [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] $ hat den Grenzwert a $\ [mm] \gdw [/mm] $ zu jedem $\ [mm] \varepsilon [/mm] > 0 \ \ [mm] \exists [/mm] \ \ [mm] n_0 \in \IN [/mm] $ so, dass $\ [mm] |a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle $\ n > [mm] n_0 [/mm] $
Nun wird dieses $\ [mm] n_0 [/mm] $ auch gerne mit $\ [mm] n_0(\varepsilon), [/mm] N, [mm] N(\varepsilon) [/mm] $ bezeichnet.
Ist dir damit geholfen?
Gruß
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Ferolei |
> Hallo,
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> eine Folge [mm]\ (a_n)_{n \in \IN}[/mm] hat den Grenzwert a [mm]\ \gdw[/mm]
> zu jedem [mm]\ \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \ n_0 \in \IN[/mm] so,
> dass [mm]\ |a_n - a| < \varepsilon[/mm] für alle [mm]\ n > n_0[/mm]
>
> Nun wird dieses [mm]\ n_0[/mm] auch gerne mit [mm]\ n_0(\varepsilon), N, N(\varepsilon)[/mm]
> bezeichnet.
>
> Ist dir damit geholfen?
Fast, mir ist noch nicht ganz klar, wieso s - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] a_N [/mm] sein muss.
> Gruß
> ChopSuey
LG, Ferolei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Sa 27.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Fast, mir ist noch nicht ganz klar, wieso s - [mm]\epsilon[/mm] <
> [mm]a_N[/mm] sein muss.
Es gibt so ein [m]a_N[/m], da s ein Supremum ist. Das ist die Supremums-Eigenschaft.
SEcki
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