monoton wachsende Folge beweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 So 02.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Ich habe diese Folge:
[mm] a_0=1 [/mm]
[mm] a_{n+1}=1+0,5*a_n
[/mm]
Nun soll ich mit vollständiger Induktion zeigen, dass [mm] (a_n)_{n\ge0} [/mm] eine streng monotone wachsende Folge ist.
Erstmal zur Schreibweise: [mm] (a_n)_{n\ge0}
[/mm]
Damit meint man einfach nur, die Folge [mm] a_n [/mm] mit [mm] n\ge [/mm] 0 oder verstehe ich das falsch?
Also streng monoton müsste die ja sein, wenn gilt, dass [mm] a_n
Aber irgendwie...ich weiß net, kann mir mal jemand die Schritte beschrieben, wie ich nun vorgehen muss?
Danke!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch erst mal auf, wie man üblicherweise bei nem Induktions beweis vorgeht. welchen Schritt davon kannst du nicht. Machs bis dahin möglichst präzise.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 So 02.12.2007 | | Autor: | ONeill |
> Hallo
> schreib doch erst mal auf, wie man üblicherweise bei nem
> Induktions beweis vorgeht. welchen Schritt davon kannst du
> nicht. Machs bis dahin möglichst präzise.
> Gruss leduart
Hallo Leduart!
Ich bin mir nicht sicher, wie ich die Bedingung formulieren soll:
Es muss gelten: [mm] a_n>a_{n+1}
[/mm]
Induktionsanfang:
[mm] a_0=1
[/mm]
[mm] a_1=1,5
[/mm]
[mm] a_2=1,75
[/mm]
Da sieht man schon, dass [mm] a_0\lea_1\lea_2 [/mm] ist.
Induktionsvoraussetzung: was für n gilt muss auch für n+1 gelten
=>Induktionsschluss: wenn [mm] a_n\lea_{n+1} [/mm] gilt, muss auch gelten: [mm] a_{n+1}\lea_{n+2}
[/mm]
[mm] 1+0,5*a_n\le1+0,5*a_{n+1}
[/mm]
[mm] 1+0,5*a_n\le1+0,5*(1+0,5*a_n)
[/mm]
[mm] 1+0,5*a_n\le1+0,5+0,25*a_n
[/mm]
[mm] 1+0,5*a_n\le1,5+0,25*a_n
[/mm]
[mm] 0,5*a_n\le0,5+0,25a_n
[/mm]
[mm] 0,25*a_n\le0,5
[/mm]
[mm] a_n\le2
[/mm]
Naja der Grenzwert der Folge ist halt 2, damit wäre das ja bewiesen...aber wie soll ich das nun mathematisch korrekt hinschreiben?
Danke!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 So 02.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo ONeill!
> Ich bin mir nicht sicher, wie ich die Bedingung formulieren
> soll:
> Es muss gelten: [mm]a_n>a_{n+1}[/mm]
> Induktionsanfang:
> [mm]a_0=1[/mm]
> [mm]a_1=1,5[/mm]
> [mm]a_2=1,75[/mm]
> Da sieht man schon, dass [mm]a_0\le a_1\le a_2[/mm] ist.
OK, aber du sollst strenge Monotonie zeigen, also [mm]a_0< a_1< a_2[/mm] ist.
> Induktionsvoraussetzung: was für n gilt muss auch für n+1 gelten
> =>Induktionsschluss: wenn [mm]a_n\le a_{n+1}[/mm] gilt, muss auch gelten: [mm]a_{n+1}\le a_{n+2}[/mm]
Auch hier: [mm]a_n< a_{n+1}\implies a_{n+1}< a_{n+2}[/mm]
> [mm]1+0,5*a_n\le1+0,5*a_{n+1}[/mm]
> [mm]1+0,5*a_n\le1+0,5*(1+0,5*a_n)[/mm]
> [mm]1+0,5*a_n\le1+0,5+0,25*a_n[/mm]
> [mm]1+0,5*a_n\le1,5+0,25*a_n[/mm]
> [mm]0,5*a_n\le0,5+0,25a_n[/mm]
Du benutzt die Voraussetzung [mm]a_n< a_{n+1}[/mm] gar nicht.
[mm] a_{n+2} - a_{n+1} = 1+0,5*a_{n+1} - (1+0,5*a_n) = 0,5*(a_{n+1} -a_n)[/mm].
Nach Voraussetzung ist die rechte Seite positiv, daher ist [mm] a_{n+2} > a_{n+1} [/mm].
Anschaulich: [mm]a_{n+1} = 0,5 * (2+ a_n)[/mm]. Jedes Folgenglied ist also das arithmetische Mittel aus der Zahl zwei und dem vorhergehenden Folgenglied, also der Punkt genau in der Mitte zwischen den beiden.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Di 04.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo Rainer!
Vielen Dank für die Hilfe, das habe ich nun verstanden.
Nun soll ich noch zeigen, dass für alle Folgenglieder [mm] a_n\le2 [/mm] gilt, dies auch wieder mit vollständiger Induktion.
Dann habe ich damit angefangen:
[mm] a_n\le2 [/mm] --Y dann muss das auch für [mm] a_{n+1} gelten=>a_{n+1}\le2
[/mm]
[mm] a_{n+1}=1+0,5*a_n\le2
[/mm]
Unter der Voraussetzung, dass [mm] a_n\le2 [/mm] ist, sieht man hier schon, dass [mm] a_{n+1} [/mm] auch kleiner gleich zwei sein muss. Reicht dies schon, als vollständige Induktion?
Danke! Gruß ONeill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Di 04.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man etwas "sieht"
sollte man es auch hinschreiben!also
[mm] a_{n+1}=1+0,5a_n
[/mm]
mit [mm] a_n\le2 [/mm] gilt [mm] 0,5a_n<1 [/mm] und wegen [mm] a_n>0 [/mm] gilt auch [mm] 1+0,5an\le [/mm] 1+1=2
dass [mm] a_n>0 [/mm] wird dabei benutzt muss also irgendwo gezeigt werden. (du hast es auch schon vorher benutzt ohne es zu sagen!)
Gruss leduart
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