monotonie < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Mo 05.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | untersuche auf Monotonie
[mm] X_{n}=\wurzel[2]{1 + (n+1)/n} [/mm] |
hallo,
Monotonie kann man mit [mm] x_{n}/x_{n+1} [/mm] untersuchen
wie wende ich dies auf die Wurzel an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Mo 05.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> untersuche auf Monotonie
>
> [mm]X_{n}=\wurzel[2]{1 + (n+1)/n}[/mm]
> hallo,
>
> Monotonie kann man mit [mm]x_{n}/x_{n+1}[/mm] untersuchen
>
> wie wende ich dies auf die Wurzel an?
Bilde den Quotienten [mm]x_{n}/x_{n+1}[/mm] , quadriere und schau nach ob das ergebnis [mm] \ge [/mm] oder [mm] \le [/mm] 1 ist
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mo 05.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
[mm] \frac {\wurzel[2]{1 +\frac{(n+1)}{n}}}{\wurzel[2]{1+\frac{n+2}{n+1}}} \ge [/mm] 1
dann ins quadrat...
gruss
e.w.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Mo 05.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bestimme den Wert von
[mm] \frac{\wurzel[2]{1 +\frac{(n+1)}{n}}}{\wurzel[2]{1+\frac{n+2}{n+1}}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{1+\bruch{(n+1)}{n}}{1+\bruch{n+2}{n+1}}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{1+\bruch{n}{n}+\bruch{1}{n}}{1+\bruch{n+1}{n+1}+\bruch{1}{n+1}}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{1+1+\bruch{1}{n}}{1+1+\bruch{1}{n+1}}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{2+\bruch{1}{n}}{2+\bruch{1}{n+1}}}
[/mm]
Da der Zähler nun für alle [mm] n\in\IN [/mm] grösser als der Nenner ist, gilt:
[mm] =\wurzel{\bruch{2+\bruch{1}{n}}{2+\bruch{1}{n+1}}}\stackrel{?}{\ge\le}1
[/mm]
Marius
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so kompliziert ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mo 05.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
kleiner als 1 somit monton fallend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Mo 05.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ein Bruch, dessen Zähler grösser als der Nenner ist, ist doch nicht kleiner als eins
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mo 05.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
wenn ich Zahlen einsetze z.B. n = 2 komme ich auf
[mm] \wurzel\frac{5/2}{3/7}\le [/mm] 1
somit monton fallende Folge...
wir müssen so kompliziert beweisen
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> wenn ich Zahlen einsetze z.B. n = 2 komme ich auf
>
> [mm]\wurzel\frac{5/2}{3/7}\le[/mm] 1
>
> somit monton fallende Folge...
> wir müssen so kompliziert beweisen
Hallo Lisa,
ich denke, dass es nicht Sinn mathematischen
Unterrichts sein darf, Dinge kompliziert zu machen,
wenn es auch anders ginge.
Der Radikand [mm] 1+\frac{n+1}{n} [/mm] lässt sich zu [mm] 2+\frac{1}{n} [/mm] vereinfachen.
Die Folge der [mm] \frac{1}{n} [/mm] und damit auch die der Radikanden [mm] 2+\frac{1}{n}
[/mm]
ist streng monoton fallend. Dabei liegen alle möglichen
Werte der Radikanden zwischen 3 und 2.
Da die Wurzelfunktion eine streng monoton
wachsende Funktion ist, macht sie aus der
streng monoton fallenden (und positiven)
Radikandenfolge eine streng monoton fallende
Folge von Wurzelwerten.
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mo 05.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
Die Beschränktheit zeige ich mit
1 [mm] \le \wurzel\frac{2 + 1/n}{2+(1/n+1)} \le [/mm] 3
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Hallo lisa11,
> Die Beschränktheit zeige ich mit
>
> 1 [mm]\le \wurzel\frac{2 + 1/n}{2+(1/n+1)} \le[/mm] 3
Betrachte auch hier wieder die Folge
[mm]\wurzel{2+\bruch{1}{n}}[/mm]
Zeige, dass diese Folge beschränkt ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 05.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
also ich würde das zeigen mit
[mm] \wurzel {2+\frac{1}{n}} \ge [/mm] 1 =
2 + [mm] \frac{1}{n} \ge [/mm] 1
1 [mm] \ge -\frac{1}{n}
[/mm]
= n [mm] \le [/mm] -1
[mm] \wurzel {2+\frac{1}{n}} \ge [/mm] 0 =
2 [mm] +\frac{1}{n} \ge [/mm] 0
[mm] \frac{1}{n} \ge [/mm] -2
[mm] -\frac{1}{2} \le [/mm] n
somit ist
[mm] -\frac{1}{2} \le [/mm] n [mm] \le [/mm] -1
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Hallo lisa11,
> also ich würde das zeigen mit
>
> [mm]\wurzel {2+\frac{1}{n}} \ge[/mm] 1 =
> 2 + [mm]\frac{1}{n} \ge[/mm] 1
> 1 [mm]\ge -\frac{1}{n}[/mm]
> = n [mm]\le[/mm] -1
Hier muss es heißen:
[mm]= n \red{\ge} -1[/mm]
Aus
[mm]1 \ge -\bruch{1}{n}[/mm]
folgt durch Multiplikation mit n, da n > 0:
[mm]n \ge -1[/mm]
>
> [mm]\wurzel {2+\frac{1}{n}} \ge[/mm] 0 =
> 2 [mm]+\frac{1}{n} \ge[/mm] 0
> [mm]\frac{1}{n} \ge[/mm] -2
> [mm]-\frac{1}{2} \le[/mm] n
>
> somit ist
> [mm]-\frac{1}{2} \le[/mm] n [mm]\le[/mm] -1
>
>
Für die Beschränktheit setze hier einmal n=1 ein,
und lasse das andere mal [mm]n \to \infty[/mm] laufen.
Das darfst Du, da die Folge streng monoton fallend ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mo 05.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
das heisst
[mm] \wurzel{2} \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
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hab mir das thema nicht durchgelesen,aber [mm] \wurzel{2}\approx [/mm] 1,4...
also wie soll denn jetzt
1,4 [mm] \le [/mm] x [mm] \le1
[/mm]
gehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Di 06.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
gar nicht es ist ein fehler der Relationszeichen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Di 06.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
wenn ich dies mache 1 einsetze und n gegen unendlich laufen lasse
bekomme ich
[mm] \wurzel{2} \ge [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Di 06.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> wenn ich dies mache 1 einsetze und n gegen unendlich laufen
> lasse
>
> bekomme ich
>
> [mm]\wurzel{2} \ge[/mm] n [mm]\ge[/mm] 1
Wenn Du n gegen unendlich laufen lässt, wie kann dann $n [mm] \le \wurzel{2}$ [/mm] sein ?
Wenn ich mich recht erinnere, willst Du zeigen, dass die Folge
[mm] $(a_n) [/mm] := [mm] (\wurzel{2+\bruch{1}{n}}) [/mm] $
beschränkt ist. Zunächst ist 1/n [mm] \le [/mm] 1, also [mm] a_n \le \wurzel{3} [/mm] für jedes n.
Damit: $ 0 [mm] \le a_n \le \wurzel{3}$ [/mm] für jedes n.
FRED
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> untersuche auf Monotonie
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> [mm]X_{n}=\wurzel[2]{1 + (n+1)/n}[/mm]
> hallo,
>
> Monotonie kann man mit [mm]x_{n}/x_{n+1}[/mm] untersuchen
>
> wie wende ich dies auf die Wurzel an?
Hallo lisa,
ich würde vorschlagen, zuallererst den Radikanden
(unter der Wurzel) zu vereinfachen, dann die
Monotonie der Radikandenfolge prüfen (sehr ein-
fach !) und dann zu überlegen, wie sich die
Folge der Wurzeln verhalten muss. Beachte dabei,
dass die Wurzelfunktion eine monotone Funktion
ist (und nur für nichtnegative Radikanden definiert)
LG Al-Chw.
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