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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:21 Fr 25.05.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Meine Frage ist, wie man den multivarianten Fall bei Kerndichteschätzungen behandelt.
Im univariaten Fall lautet der Kernschätzer zur Bandweite h und mit Kernfunktion K:
[mm] $\hat{f}_{h}^{K}(x)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{x-X_i}{h}\right)$
[/mm]
Im multivariaten Fall (d-dim.) sind die beiden Fälle zu unterscheiden, dass alle Komponenten die gleiche Bandweite haben, dann lese ich, dass die Formel lautet:
[mm] $\hat{f}_{h}^{K}(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{h^d}K\left(\frac{x-X_i}{h}\right)=\frac{1}{nh^d}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{x_1-X_{i1}}{h},\hdots,\frac{x_d-X_{id}}{h}\right)$
[/mm]
Hat jede Komponente eine eigene Bandweite [mm] h_i, [/mm] so gilt:
[mm] $\hat{f}_{h}^{K}(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{h_1\hdots h_d}K\left(\frac{x_1-X_{i1}}{h_1},\hdots,\frac{x_d-X_{id}}{h_d}\right)$
[/mm]
Außerdem habe ich gelesen, dass man die multivariaten Kernfunktionen quasi auf zwei unterschiedlichen Wegen erhält:
1.) Man bildet das Produkt aus den Kernfunktionen der Komponenten und erhält dann:
[mm] $\hat{f}_{h}^{K}(\vec{x})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left\{\prod_{j=1}^{d}h_j^{-1}K\left(\frac{x_j-X_{ij}}{h_j}\right)\right\}$
[/mm]
(Dies ist wohl der einfachere Weg.)
2.) Man bildet die multivariaten Entsprechungen der eindimensionalen Kernfunktionen.
Zum Beispiel ist dann die multivariate Reckteckkernfunktion:
[mm] $K(x)=\begin{cases}\frac{1}{h^d\vert S\vert^{1/2}c_0}, & \mbox{für }x^{T}S^{-1}x\leq h^2\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$
[/mm]
mit [mm] $c_0=\pi^{d/2}/\Gamma(d/2+1)$ [/mm] und $S=I$ bei gleicher Bandweite in allen Dimensionen, [mm] $S=\operatorname{diag}(s_1^2,\hdots,s_d^2)$ [/mm] mit den empirischen Varianzen der Stichprobe (Berücksichtigung unterschiedlicher Skalierungen) oder S gleich der empirischen Kovarianzmatrix (Berücksichtigung von Abhängigkeiten zwischen den Komponenten)$ |
Ich habe eigentlich drei Fragen:
(1) Woher kommt das [mm] $h^d$ [/mm] im Nenner (bzw. das [mm] $h_1\hdots h_d$)? [/mm] Anscheinend gibt es zu jeder Komponente ein $h$ bzw. ein [mm] $h_j$ [/mm] im Nenner, aber wieso ist das so? Ich sehe nicht, wie sich das erklären lässt.
(2) Wie kommt man auf diese kuriose multivariate Version der Rechteckkernfunktion?
(3) Wann darf man Produktkernfunktionen nehmen (statt sich diese multivariaten Versionen anzutun)? Immer oder nur unter bestimmten Bedingungen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 27.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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