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Forum "Uni-Lineare Algebra" - n-dim K-Vektorräume
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n-dim K-Vektorräume: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 Fr 09.12.2005
Autor: hab-ne-frage

Hallo,

ich brauche dringend Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] eine Basis von V.
Für j [mm] \in [/mm] {1,...,n} definieren wir [mm] w_{j}:= \summe_{i=1}^{j}v_{i}. [/mm]

(a) Zeige, dass [mm] (w_{1},...,w_{n}) [/mm] eine Basis von V ist.

(b) Berechne die Darstellungsmatrix [mm] M^{(v_{1},...,v_{n})}_{(w_{1},...,w_{n})} (Id_{v}). [/mm]

Ich hab einfach keine Ahnung wie ich anfangen soll.

Bin verzweifelt.

Danke.

        
Bezug
n-dim K-Vektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Fr 09.12.2005
Autor: Leopold_Gast

Da du ja weißt, daß der Vektorraum die Dimension [mm]n[/mm] hat, brauchst du nur die lineare Unabhängigkeit der [mm]w_j[/mm] nachzuweisen. Gehe daher von einer Relation

[mm]\sum_{j=1}^n~\lambda_j w_j = 0[/mm]

mit Skalaren [mm]\lambda_j[/mm] aus und weise nach, daß diese alle 0 sein müssen.


Tip: Zeige, daß die linke Seite auf die Form

[mm]\sum_{i=1}^n~\left( \sum_{j=i}^n~\lambda_j \right) v_i[/mm]

gebracht werden kann und beachte die lineare Unabhängigkeit der [mm]v_i[/mm].

Wenn dir solche Umformungen suspekt sind, dann mache dir die Situation bei kleinen Zahlen (z.B. [mm]n=4[/mm]) klar.

Bezug
                
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n-dim K-Vektorräume: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:14 Sa 10.12.2005
Autor: hab-ne-frage

Hallo,
danke für deine Antwort. Bin nun bisher soweit fortgeschritten:

Z.Z: [mm] k_{1}w_{1}+k_{2}w_{2}+...+ k_{n}w_{n}=0 [/mm]

Aus der Vorgabe aus der Aufgabenstellung erhält man:
[mm] w_{1}=v_{1} [/mm]
[mm] w_{2}= v_{1}+v_{2} [/mm]
[mm] w_{3}= v_{1}+v_{2}+v_{3} [/mm]
[mm] w_{4}= v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4} [/mm]
...
w{n}= [mm] v_{1}+v_{2}+...+v_{n} [/mm]

Das kann man oben für [mm] w_{i} [/mm] nun einsetzen. Man erhält nach Umformungen

[mm] v_{1} (k_{1}+k_{2}+k_{3}+...+k_{n}) [/mm] + [mm] v_{2} (k_{2}+k_{3}+k_{4}+...+k_{n}) [/mm] + [mm] v_{3} (k_{3} [/mm] + [mm] k_{4}+...+ k_{n}) [/mm] + ... [mm] k_{n} v_{n}=0 [/mm]

Da nach Voraussetzung [mm] v_{i}, [/mm] i= {1,...,n} Basis von V sind, also linear unabhängig, so müssen die Koeffizienten [mm] k_{i}, [/mm] i={1, ...,n} identisch und gleich 0 sein. Reicht das so aus?

Zu (b) Berechnung der Darstellungsmatrix
   [mm] (v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{n}) [/mm]
M                                   [mm] (Id_{v}) [/mm]
   [mm] (w_{1}, [/mm] ...., [mm] w_{n}) [/mm]

fehlt mir jedoch leider immer noch jeglicher Ansatz. Für weitere Tipps wäre ich dankbar :-)
Liebe Grüße!

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n-dim K-Vektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 Sa 10.12.2005
Autor: Leopold_Gast

Beim Beweis der linearen Unabhängigkeit kannst du zunächst nur schließen, daß die Koeffizienten der [mm]v_i[/mm]-Linearkombination 0 sein müssen:

[mm]k_1 + k_2 + k_3 + \ldots + k_n = 0[/mm]
[mm]k_2 + k_3 + \ldots + k_n = 0[/mm]
[mm]\vdots[/mm]
[mm]k_n = 0[/mm]

Diese lineare Gleichungssystem kannst du nun allerdings von unten nach oben auflösen, so daß du das Gewünschte erhältst.

Bezug
                                
Bezug
n-dim K-Vektorräume: Tipp (Teil b))
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 So 11.12.2005
Autor: hab-ne-frage

Hallo:),

danke für deine Antwort. Hat jemand für b) Noch einen Tipp?

Bezug
                                        
Bezug
n-dim K-Vektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:19 So 11.12.2005
Autor: angela.h.b.


> Hallo:),
>  
> danke für deine Antwort. Hat jemand für b) Noch einen Tipp?

Hallo,

hierfür mußt Du die [mm] v_i [/mm] als Linearkombination der [mm] w_i [/mm] ausdrücken und das Ergebnis in die Spalten der gesuchten Matrix schreiben.

Gruß v. Angela

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