n-facher Münzwurf, genau 5x Z < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Di 29.11.2016 | | Autor: | superbad |
| Aufgabe | | Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei einem n-fachen Münzwurf genau 5x hintereinander Zahl zu werfen. |
Die Würfe ZZZZZ kann ich doch an n-1+5 verschiedenen Stellen werfen.
Also z.B: ZZZZZK... oder KZZZZZK....
usw...
Die Wahrscheinlichkeit das ich ZZZZZ werfe ist [mm] $0.5^5$
[/mm]
Wie rechne ich aber dann die Gesamtwahrscheinlichkeit für genau 5x Z bei n würfen aus?
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Hallo,
> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei einem n-fachen
> Münzwurf genau 5x hintereinander Zahl zu werfen.
> Die Würfe ZZZZZ kann ich doch an n-1+5 verschiedenen
> Stellen werfen.
$(n-4)$ Stellen bzw Positionen, falls du das meinst.
> Also z.B: ZZZZZK... oder KZZZZZK....
> usw...
> Die Wahrscheinlichkeit das ich ZZZZZ werfe ist [mm]0.5^5[/mm]
>
> Wie rechne ich aber dann die Gesamtwahrscheinlichkeit für
> genau 5x Z bei n würfen aus?
$ [mm] (n-4)\left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right)^{n-5}$
[/mm]
Es gibt $(n-4)$ Positionen deines 5er Blocks, die übrigen $ (n-5)$ Würfe ergeben sich aus der Warscheinlichkeit $ [mm] p(\text{Kopf}) [/mm] = 1 - [mm] p(\text{Zahl}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] = [mm] p(\text{Zahl})$ [/mm]
LG,
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 Mi 30.11.2016 | | Autor: | chrisno |
Ich benötige ein besseres Verständnis der Frage.
genau 5x hintereinander Zahl schließt 6x hintereinander Zahl aus.
Das Muster muss also KZZZZZK sein, bis auf die beiden Fälle am Anfang und am Ende.
Nun gibt es noch das Problem. dass ab n 11 dieses Muster zweimal auftreten kann: ZZZZZKZZZZZ.
Nun gehe ich davon aus, dass auch dieses Muster die Bedingung "genau 5x Hintereinander Zahl" erfüllt. Dann muss man bei Zählen aufpassen, dass diese Muster nur einmal gezählt werden.
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> Ich benötige ein besseres Verständnis der Frage.
> genau 5x hintereinander Zahl schließt 6x hintereinander
> Zahl aus.
> Das Muster muss also KZZZZZK sein, bis auf die beiden
> Fälle am Anfang und am Ende.
> Nun gibt es noch das Problem. dass ab n 11 dieses Muster
> zweimal auftreten kann: ZZZZZKZZZZZ.
> Nun gehe ich davon aus, dass auch dieses Muster die
> Bedingung "genau 5x Hintereinander Zahl" erfüllt. Dann
> muss man bei Zählen aufpassen, dass diese Muster nur
> einmal gezählt werden.
richtig. ich meinte: genau 5x Z und das auch nur genau 1x in den n Würfen.
Heisst das dann die Lösung ist $ [mm] (n-4)\left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right)^{n-5} [/mm] $ (von ChopSuey)
Und wie rechnet man dann wenn man mindestens 5xZ hintereinander auch zulässt, bzw (5+x)*Z auch öfter in den n Würfen auftauchen darf?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Mi 30.11.2016 | | Autor: | chrisno |
Ich verstehe das jetzt so: zzzzz darf nur einmal erscheinen, ansonsten höchstens zzzz. zzzzzz gilt als nicht genau 5x.
Ich sehe da ein mühseliges Abzählen. Ich ahne noch nicht einmal, ob es eine handhabbare Zusammenfassung in einer Formel geben wird. Deshalb halte ich mich da raus. Ich bin der Meinung, das diese Probleme in der Antwort von ChopSuey nicht berücksichtigt sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 02.12.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo Zusammen,
die Aufgabe war keine einfache Aufgabe und wurde von ChopSue nicht richtig beantwortet. Ich denk mal er hat seine Formel für den trivialen Fall n=5 aufgestellt :D.
Denn für den Fall n=6 wäre die Anzahl der Möglichkeit 3:
nämlich $( K [mm] Z_5), [/mm] (Z [mm] Z_5) [/mm] , ( [mm] Z_5 [/mm] K) $, wobei [mm] Z_5= [/mm] Z Z Z Z Z .
Die Formel für die Gesamtwarscheinlichkeit wäre :
$ [mm] P(X_n)=[ 2^{n-5} \cdot [/mm] (n-4) - (n-5) ] [mm] \cdot (0,5)^n [/mm] $ für [mm] n\ge [/mm] 5
kurze Erkärung:
Die [mm] 2^{n-5} [/mm] steht für die Anzahl der Kombination bei Fixhalten von [mm] Z_5 [/mm] an einer bestimmten Komponente . zum Beispiel für den fall n=6
wären das 2^(6-5)=2 also nur zwei Möglichkeiten nämlich (K [mm] Z_5) [/mm] ( Z [mm] Z_5 [/mm] ) .
Die (n-4) steht für die Anzahl der switches, bzw Vertauschung von [mm] Z_5. [/mm] Also kämen in unserem Fall (n=6) nur zwei Möglichkeiten. denn Einmal
( _ [mm] Z_5) [/mm] und ( [mm] Z_5 [/mm] _ ) .
Da jetzt durch meine Konstruktion zwei mal das Ereignis
(Z [mm] Z_5 [/mm] )vorkommt muss ich die mehrfach auftretenden Ereignisse mit -(n-5) korrigieren bzw.abziehen.
Und [mm] (0,5)^n [/mm] ist ja klar.
Den Beweis würde man entweder über direkt oder durch Induktion angehen.
Ich würde den direkten Beweis vorziehen, aber die Geschmäcker sind ja verschieden.
Gruss decehakan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Sa 03.12.2016 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo decehakan,
> Hallo Zusammen,
>
> die Aufgabe war keine einfache Aufgabe und wurde von
> ChopSue nicht richtig beantwortet. Ich denk mal er hat
> seine Formel für den trivialen Fall n=5 aufgestellt :D.
>
> Denn für den Fall n=6 wäre die Anzahl der Möglichkeit
> 3:
>
> nämlich [mm]( K Z_5), (Z Z_5) , ( Z_5 K) [/mm], wobei [mm]Z_5=[/mm] Z Z Z Z
> Z .
Laut OP soll nur $ K [mm] Z_5$ [/mm] und $ [mm] Z_5 [/mm] K $ zugelassen sein.
>
> Die Formel für die Gesamtwarscheinlichkeit wäre :
> [mm]P(X_n)=[ 2^{n-5} \cdot (n-4) - (n-5) ] \cdot (0,5)^n[/mm] für
> [mm]n\ge[/mm] 5
>
> kurze Erkärung:
> Die [mm]2^{n-5}[/mm] steht für die Anzahl der Kombination bei
> Fixhalten von [mm]Z_5[/mm] an einer bestimmten Komponente . zum
> Beispiel für den fall n=6
> wären das 2^(6-5)=2 also nur zwei Möglichkeiten
> nämlich (K [mm]Z_5)[/mm] ( Z [mm]Z_5[/mm] ) .
>
> Die (n-4) steht für die Anzahl der switches, bzw
> Vertauschung von [mm]Z_5.[/mm] Also kämen in unserem Fall (n=6)
> nur zwei Möglichkeiten. denn Einmal
> ( _ [mm]Z_5)[/mm] und ( [mm]Z_5[/mm] _ ) .
>
> Da jetzt durch meine Konstruktion zwei mal das Ereignis
> (Z [mm]Z_5[/mm] )vorkommt muss ich die mehrfach auftretenden
> Ereignisse mit -(n-5) korrigieren bzw.abziehen.
>
>
> Und [mm](0,5)^n[/mm] ist ja klar.
>
>
> Den Beweis würde man entweder über direkt oder durch
> Induktion angehen.
> Ich würde den direkten Beweis vorziehen, aber die
> Geschmäcker sind ja verschieden.
Legt man die Binomialverteilung zu grunde für genau $ k $ Erfolge bei $ n $ Versuchen und sei $ p $ die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs, $ q = 1-p $ die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg so ist doch
$ P(k [mm] \vert, [/mm] p, n ) = [mm] \binom{n}{k}p^nq^{n-k} [/mm] $
Also für $ 5 [mm] \times \text{Zahl}$ [/mm] bei $ 6$ Würfen ergibt sich
$ P(5 [mm] \times \text{Zahl}) [/mm] = [mm] 6\left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right) [/mm] $
Wobei laut OP die Ergebnisse $ ZKZZZZ,\ ZZKZZZ,\ ZZZKZZ, ZZZZKZ$ nicht gesucht sind. Es soll genau $ 5 [mm] \times$ [/mm] hintereinander Zahl fallen, aber kein weiteres mal.
Also gibt es $(n-4) = 6-4 = 2 $ Möglichkeiten für die Anordnung, nämlich $ Z_5K,\ [mm] KZ_5$ [/mm] und daraus ergibt sich für $ n = 6$ die Wahrscheinlichkeit
$ P(5 [mm] \times \text{ hintereinander Zahl}) [/mm] = [mm] 2\left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right) [/mm] $
Nach deinen Überlegungen erhalten wir aber $ P(5 [mm] \times \text{ hintereinander Zahl}) [/mm] = [mm] \red{3}\left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right) [/mm] $
Für $ n = 7 $ ergibt sich bei dir $ [mm] P(X_n) [/mm] = [mm] 10\left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right)^2$
[/mm]
Aber auch hier gibt es eigentlich doch bloß 3 Möglichkeiten $ [mm] KKZ_5, [/mm] KZ_5K, Z_5KK$
Überseh ich etwas?
>
> Gruss decehakan
>
LG,
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:05 Mo 05.12.2016 | | Autor: | Decehakan |
ja ich sehe es, hab wohl die Aufgabenstellung anders aufgenommen :) Meine Berechnung gilt für den komplizierten Fall für mindestens einmal vorkommen von 5XZ aus n würfen.
Dann stimmt deine Berechnung :D und dein Ansatz.
Oder der Fragende hat die Aufgabe oder der Dozent die Aufgabe falsch formuliert :)
Vielen Dank& Viele Grüße
decehakan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Di 06.12.2016 | | Autor: | chrisno |
> ....
> Für [mm]n = 7[/mm] ergibt sich bei dir [mm]P(X_n) = 10\left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right)^2[/mm]
>
> Aber auch hier gibt es eigentlich doch bloß 3
> Möglichkeiten [mm]KKZ_5, KZ_5K, Z_5KK[/mm]
>
> Überseh ich etwas?
>
Ich meine, dass [mm]ZKZ_5[/mm] und[mm] Z_5KZ[/mm] fehlen. Die Bedingung lautet nicht: sonst keine Zahl, sondern nur, dass einmal und nur einmal KZZZZZK auftritt. Am Anfang und Ende ist es natürlich ZZZZZK und KZZZZZ.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Do 08.12.2016 | | Autor: | Decehakan |
Naja, dass müsste man in der Aufgabenstellung erwähnen.
Da war auch das zentrale Problem der Aufgabe, wie ist es gemeint mit genau :)?
Nach meiner Ansicht, der Ausdruck der Aufgabe war schwach und bin von davon ausgegangen, genau bezieht sicht auf die fünfer-Kette Zahl( [mm] Z_5) [/mm] und alle weitere Konstellation Zahl oder Kopf können vorkommen . Chopsue ist der Ansicht, das genau bezieht sich auf das gesamte Tupel n, wo nur einmalig [mm] Z_5 [/mm] vorkommt und alle weiteren Z-Würfe werden negiert. Und du hast jetzt ebenfalls deine begründete Ansicht. :)
Jede hat hier wohl recht :D
Viele Grüße
decehakan
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