n-faches kartesisches Produkt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Fr 04.11.2005 | | Autor: | frau-u |
Hallo,
Dass n-fache kartesische Produkt ist definiert als:
[mm] M^n:= [/mm] M (für n=1)
[mm] MxM^{n-1} [/mm] für n>1
Es ist eigentlich logisch, dass dann auch gilt: [mm] |M^n| [/mm] = [mm] |M|^n
[/mm]
Habt ihr eine Idee, wie ich das beweisen kann?
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> Hallo,
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> Dass n-fache kartesische Produkt ist definiert als:
> [mm]M^n:=[/mm] M (für n=1)
> [mm]MxM^{n-1}[/mm] für n>1
>
> Es ist eigentlich logisch, dass dann auch gilt: [mm]|M^n|[/mm] =
> [mm]|M|^n[/mm]
>
> Habt ihr eine Idee, wie ich das beweisen kann?
Hallo,
wie kommt denn das, das das so logisch ist? Wie hast Du herausgefunden, daß es so sein muß?
Wenn Dir das sonnenklar ist, kannst Du einen Induktionsbeweis machen.
n=1 ist ja klar.
Dann n-->n+1:
[mm] M^{n+1}=...,
[/mm]
[mm] M^n [/mm] hat nach i.V. [mm]|M|^n[/mm] Elemente. Und jetzt würde ich - mit ein paar Worten - plausibel machen, warum sich die Anzahl der Elemente ver |M|-facht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:01 Sa 05.11.2005 | | Autor: | frau-u |
Hi,
> wie kommt denn das, das das so logisch ist? Wie hast Du
> herausgefunden, daß es so sein muß?
Wenn ich es herausgefunden hätte, hätte ich den Beweis ja schon gehabt. :)
Wir haben nur in der Vorlesung etwas mit kartesischen Produkten gerechnet und daraus hätte ich es dann vermutet...
> Wenn Dir das sonnenklar ist, kannst Du einen
> Induktionsbeweis machen.
> n=1 ist ja klar.
>
> Dann n-->n+1:
> [mm]M^{n+1}=...,[/mm]
> [mm]M^n[/mm] hat nach i.V. [mm]|M|^n[/mm] Elemente. Und jetzt würde ich -
> mit ein paar Worten - plausibel machen, warum sich die
> Anzahl der Elemente ver |M|-facht.
Kannst du das näher erläutern? Warum ver|M|facht sich die Anzahl der Elemente?
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Mal ein Beispiel. Sei M={1,2}
[mm] M^2=MxM={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}
[/mm]
[mm] M^3=MxM^2= [/mm] ???
Jetzt mal nachgedacht. Welche Elemente sind in [mm] M^3? [/mm] Das sind natürlich 3-Tupel.Für die letzten beiden Komponenten gibt es die vier Möglichkeiten, die wir in [mm] M^2 [/mm] haben. Für die erste Komponente haben wir 2 Möglichkeiten, nämlich 1und 2.
Insgesamt kann man also 2*4=8 3-Tupel bilden.
!!! ={(1,1,1),(2,1,1),(1,1,2),(2,1,2), (1,2,1),(2,2,1),(1,2,2),(2,2,2)}
Und genauso kann man im allgemeinen Fall im Induktionsschluß argumentieren.
Gruß v. Angela
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