n-te Ableitung tan(x) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Do 27.01.2005 | | Autor: | Edi1982 |
Hallo Leute.
Ich habe hier eine Aufgabe auf dem vorletzten Blatt vor meiner Klausur, die mir Schwierigkeiten bereitet.
Und zwar soll ich zeigen, dass die n-ten Ableitungen der Funktion
f(x) = tan(x)
als Polynome (n+1)-ten Grades in tan(x) ausdrückbar sind.
Also, ich weiss, dass die Ableitung von tan(x)=1/cos2 = 1 + [mm] tan^{2} [/mm] ist.
Wie ich jetzt aus diesen Kenntnissen das obige beweisen soll, weiss ich nicht.
Brauche ein Paar Tipps.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Do 27.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Eduard
Schau mal hier.
mfG Moudi
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Edi1982,
moudi hat da eine sehr schöne Arbeit geleistet,
der
Nachweis der blossen Tatsache es es überhaupt ein Polynom (n+1)ten Grades
in $\tan x$ ist aber sehr einfach:
für die 1te Ableitung stimmt es. Die
Behauptung
lautet nun $( \tan x )^{(n)} = \sum _{k=0} ^{n+1} a_k \tan ^k x$
wobei
$\lef( \tan x )^{(n)$ für die n te tan Ableitung steht.
Was ergibt sich nun für die (n+1)te Ableitung,
wenn wenn rechts jeder Summand nach der Kettenregel differenziert wird
und $\tan ' x$ immer wieder durch $1 + \tan ^2 x$ ausgedrückt wird?
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