n^2 kleiner gleich 2^n < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche natürlichen Zahlen n gilt die Ungleichung [mm] n^2 \le 2^n?
[/mm]
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Hallihallo,
ich sitze über dieser Aufgabe und finde keinen richtigen Anfang. Würde es gerne über vollständige Induktion lösen. Ist es evtl. über Bernoullische Ungleichung zu lösen!? Oder geht das nicht und jemand hat eine viel bessere Idee!?
Mein Induktionsschluss ist: [mm] (1+n)^2 \le 2^{(n+1)} [/mm] = [mm] n^2 [/mm] + 2n +1 [mm] \le 2*2^n.
[/mm]
Das rote könnte doch Bernoullische Ungleichung sein, oder!?
Aber wie mache ich jetzt weiter?
LG und Danke im Vorraus,
Stefanie.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Do 01.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefanie!
Hier wird "nur" abgeschätzt - Herrn Bernoulli braucht man m.E. nicht:
[mm] $$(n+1)^2 [/mm] \ = \ [mm] \red {n^2}+2*n+1 [/mm] \ [mm] \red{\le \ 2^n} [/mm] + [mm] \blue{2*n+1} [/mm] \ [mm] \blue{\le} [/mm] \ [mm] 2^n+\blue{n^2}$$
[/mm]
Und nun nochmals die Induktionsvoraussetzung [mm] $n^2\le 2^n$ [/mm] einsetzen.
Gruß
Loddar
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Erst einmal herzlichen Dank für die schnelle Antwort.
Ich kann das fast alles so nachvollziehen und auch den letzten Schritt, aber woher weiß ich, dass 2*n+1 [mm] \le n^2 [/mm] ist!?
Lg, Stefanie!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Do 01.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Das [mm] 2n+1\le n^{2} [/mm] kannst du ja jetzt besser nach n umstellen, als deine Induktionsvorraussetzung.
[mm] n^{2}-2n-1\ge0
[/mm]
Das ganze ist jetzt eine quadratische Gleichung.
Du berechnest einfach die Grenzfälle [mm] n_{0} [/mm] und [mm] n_{1} (n_{0}
Wie man das am besten begründet weiß ich auch nicht so genau.
Kannst vielleicht sagen, dass das graphisch gesehen eine nach oben geöffnete Parabel ist und dass da alle Stellen, die größer als die rechte Nullstelle sind größer als 0 sind.
Hofgfe du konntest damit was anfangen.
Gruß
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Do 01.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Max, hallo Stefanie,
> Das [mm]2n+1\le n^{2}[/mm] kannst du ja jetzt besser nach n
> umstellen, als deine Induktionsvorraussetzung.
>
> [mm]n^{2}-2n-1\ge0[/mm]
>
> Das ganze ist jetzt eine quadratische Gleichung.
Nein, eine quadratische Ungleichung.
Am Besten geht ihr mit quadratischer Ergänzung ran:
[mm]0\le n^2-2n-1 =n^2-2n+1 -2 = (n-1)^2 - 2 [/mm],
also [mm](n-1)^2 \ge 2 \implies n\ge3[/mm].
> Kannst vielleicht sagen, dass das graphisch gesehen eine
> nach oben geöffnete Parabel ist und dass da alle Stellen,
> die größer als die rechte Nullstelle sind größer als 0
> sind.
Das ist natürlich auch richtig; die rechte Nullstelle ist [mm]1+\sqrt{2}[/mm]. Mit der quadratischen Ungleichung bestimmt man diejenigen n, für die die Parabel oberhalb der x-Achse liegt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Do 01.11.2007 | | Autor: | Bossebaby |
Die Erklärung ist so richtig abba seit wann ist [mm] 9\le8? [/mm] Dein Ergebnis muss entweder: gilt für alle [mm] n\in\IN [/mm] mit n>3 oder mit [mm] n\ge4 [/mm] sein  Hoffe du liest das noch bevor du abgebentust ...
Gruß>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Do 01.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die Erklärung ist so richtig abba seit wann ist [mm]9\le8?[/mm] Dein
> Ergebnis muss entweder: gilt für alle [mm]n\in\IN[/mm] mit n>3 oder
> mit [mm]n\ge4[/mm] sein Hoffe du liest das noch bevor du
> abgebentust ...
Richtig.
Das ist in den vielen einzelnen Nachrichten untergegangen: der Induktionsschluss gilt für [mm]n\ge3[/mm]. Da aber die Induktionsvoraussetzung nur für [mm]n\ge4[/mm] gilt, gilt auch die Induktionsaussage nur für [mm]n\ge 4[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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