n über k < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Fr 16.03.2012 | | Autor: | koios |
| Aufgabe | | Bitte um eine Erklärung entlang der Formel |
Hallo miteinander,
bei der Formel :
n!/(n-k)!
verstehe ich das der Zähler alle Möglichkeiten aller Obejekte zählt und der Nenner dann die "ungenutzten Objekte" zählt, somit bleiben nach dem Kürzen im Zähler nur die offenen Objekte übrig, welche dann als Lösung dienen.
Nun im nächsten Schritt versuche ich mir die Formel für [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] zu erklären:
n!/(k!(n-k)!) oder (n!/(n-k)! * (1/k!)
Ich weiß das durch das teilen mit k! die Beachtung der Reihenfolge aufgehoben wird.
Meine Bitte wäre das mir jemand mit Worten erklärt, warum ich noch einmal durch k! teile. Finde leider keine mir sinngebende Antwort
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Hallo koios,
> Ich weiß das durch das teilen mit k! die Beachtung der
> Reihenfolge aufgehoben wird.
> Meine Bitte wäre das mir jemand mit Worten erklärt,
> warum ich noch einmal durch k! teile. Finde leider keine
> mir sinngebende Antwort
dann gehen wir die Formel doch mal Schritt für Schritt durch:
n! gibt dir die Anzahl an Möglichkeiten n Objekte anzuordnen.
Nun wählen wir aus einer solchen Anordnung mal k Stück aus (oBdA die letzten k Stück), das sähe dann so aus für die triviale Anordnung
[mm] $\underbrace{1, 2, 3, \ldots, n-k}_{(n-k) \text{Objekte}}\quad \underbrace{n-k+1, n-k+2, \ldots, n}_{k \text{ Objekte}}$
[/mm]
Für eine beliebige andere (für n ausreichend groß) bspw so:
[mm] $\underbrace{5, 8, 12, \ldots, 242}_{(n-k) \text{Objekte}}\quad \underbrace{7, 1, \ldots, 23}_{k \text{ Objekte}}$
[/mm]
Betrachten wir nun also alle n! Möglichkeiten, erhalten wir so auf jedenfall auch alle möglichen Auswahlkombinationen für k beliebige Elemente, allerdings mit Berücksichtigung der Reihenfolge der k Elemente!
Wenn du nun k Elemente daraus wählen willst, heißt das also, diese müssen in den letzten k Objekten vorkommen.
Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür?
Nun: Für die ersten (n-k) Objekte hast du (n-k)! Möglichkeiten, diese anzuordnen. Für die letzten k Objekte hast du k! Möglichkeiten, diese anzuordnen.
Insgesamt hast du also:
$(n-k)!*k!$ Anordnungen, die deiner "gewünschten" Auswahl entspricht.
Und im Verhältnis zur Gesamtauswahl entspricht dies eben gerade:
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!*k!} [/mm] Möglichkeiten
MFG,
Gono.
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