www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Grenzwerte" - n zu vorgegebenen e bestimmen
n zu vorgegebenen e bestimmen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

n zu vorgegebenen e bestimmen: Wie lösen sich diese Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:13 So 17.11.2013
Autor: Taube

Aufgabe
Bestimme, ab welchem n die Glieder der Folge um weniger als e vom Grenzwert abweichen.

a) [mm] a_n=(2n-5)/(n+1);\varepsilon\in\{0.1;0.01;0.0001\} [/mm]
b) [mm] a_n=(n^2+1)/(n^2-1);\varepsilon\in\{0.1;0.01;0.0001\} [/mm]
c) [mm] a_n=(2n^2+7)/(2-3n^2);\varepsilon\in\{0.1;0.01;0.0001\} [/mm]
d) [mm] a_n=500-0.9^n*300;\varepsilon\in\{50;10;1\} [/mm]


Ich habe mir überlegt, jeweils zuerst den Grenzwert der Funktion zu ermitteln, um danach die entsprechende Eintauchzahl zu jedem der gegebenen Radien zu bestimmen.

Für Beispiel a) müsste der Grenzwert ja wohl 2 sein, da beim Umformen auf (2-5/n)/(1+1/n) ersichtlich wird, dass die Glieder 5/n und 1/n gegen 0 verlaufen, sprich g=(2-0)/(1+0)=2.

Suche ich nun die Eintauchzahl, welche genau auf 2.1 [mm] (\varepsilon=0.1) [/mm] liegt, erstelle ich die Gleichung.

(2n-5)/(n+1)=2.1

Wie kann ich nun jedoch n ermitteln. Wie muss ich die Gleichung dazu umformen? War mein bisheriges Verfahren korrekt. Ich würde mich unglaublich freuen, wenn ihr mir bei diesen Aufgaben Hilfe leisten könntet. Dafür wäre ich euch unglaublich dankbar. :)

Ganz liebe Grüsse!
Simon

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
n zu vorgegebenen e bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:53 So 17.11.2013
Autor: reverend

Hallo Taube/Simon, [willkommenmr]

Danke, dass Du gleich die Formelschreibweise hier im Forum ausprobiert hast (basiert auf LaTeX), und bis auf ein paar Kleinigkeiten hat ea ja auch super geklappt!

> Bestimme, ab welchem n die Glieder der Folge um weniger als
> e vom Grenzwert abweichen.

Du kannst die Formelschreibweise [mm] \varepsilon [/mm] auch im Fließtext verwenden.

> a) [mm]an=(2n-5)/(n+1);\varepsilon\in{0.1;0.01;0.0001}[/mm]
>  b) [mm]an=(n^2+1)/(n^2-1);\varepsilon\in{0.1;0.01;0.0001}[/mm]
>  c) [mm]an=(2n^2+7)/(2-3n^2);\varepsilon\in{0.1;0.01;0.0001}[/mm]
>  d) [mm]an=500-0.9^n*300;\varepsilon\in{50;10;1}[/mm]

Hier fehlen nur die geschweiften Klammern. Das sind die einzigen, die einen "backslash" \ direkt davor benötigen, weil LaTeX sie nämlich sonst für Argumente von Funktionen verwendet, so dass sie nicht angezeigt werden.

> Ich habe mir überlegt, jeweils zuerst den Grenzwert der
> Funktion zu ermitteln, um danach die entsprechende
> Eintauchzahl zu jedem der gegebenen Radien zu bestimmen.

Gute Idee.

> Für Beispiel a) müsste der Grenzwert ja wohl 2 sein, da
> beim Umformen auf (2-5/n)/(1+1/n) ersichtlich wird, dass
> die Glieder 5/n und 1/n gegen 0 verlaufen, sprich
> g=(2-0)/(1+0)=2.

Stimmt.
  

> Suche ich nun die Eintauchzahl, welche genau auf 2.1
> [mm](\varepsilon=0.1)[/mm] liegt, erstelle ich die Gleichung.
>  
> (2n-5)/(n+1)=2.1

Na, das setzt aber allerlei voraus, nämlich
1) die Folge ist (streng) monoton fallend;
2) dass es ein [mm] n\in\IN [/mm] gibt, für das die Gleichung "genau" lösbar ist.

Beides ist doch vorläufig noch gar nicht garantiert. Und nebenbei sind beide Annahmen auch falsch.

> Wie kann ich nun jedoch n ermitteln. Wie muss ich die
> Gleichung dazu umformen? War mein bisheriges Verfahren
> korrekt. Ich würde mich unglaublich freuen, wenn ihr mir
> bei diesen Aufgaben Hilfe leisten könntet. Dafür wäre
> ich euch unglaublich dankbar. :)

Na, die Umformung ist sehr einfach und Stoff der Mittelstufe! Multipliziere die Gleichung erstmal mit $(n+1)$, fasse dann zusammen, und dann...

Aber, wie Du aus meinen obigen Bemerkungen ersehen solltest, ist der Ansatz nicht richtig, weswegen sich eine Lösung der Gleichung erübrigt.

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
n zu vorgegebenen e bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 So 17.11.2013
Autor: Taube

Hallo reverend

Vielen Dank erstmal für deinen Kommentar. Es freut mich sehr, dass ich hier Hilfe bekomme. :)

Ich denke ich verstehe, was du meinst. Auf der linken Seite kommt der Graph ja von oben und nähert sich gegen [mm] -\infty [/mm] hin dem Grenzwert 2. Auf der linken Seite ist es umgekehrt. Der Graph kommt von unten, wobei sich der Graph gegen rechts hin sich stets dem Grenzwert 2 nähert. Die Kurven werden somit quasi an der Ordinate gespiegelt, richtig?

Wenn diese Bedingungen vorhanden sind, so sollte ich aber dennoch mit dieser Methode vorgehen können:

(2n-5)/(n+1)=2.1
-1n/10=7.1
[mm] n=\pm70.1 [/mm]

Wenn ich also 70.1 als negatives und positives Argument in die Funktion einsetze, so müssten dabei die beiden Eintauchzahlen herauskommen, die direkt auf dem Radius 0.1 um den Grenzwert 2 liegen, richtig?
Ich würde meinen, somit hätte ich dann die Aufgabestellung vollständig gelöst.

Bezug
                        
Bezug
n zu vorgegebenen e bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:08 So 17.11.2013
Autor: abakus


> Hallo reverend

>

> Vielen Dank erstmal für deinen Kommentar. Es freut mich
> sehr, dass ich hier Hilfe bekomme. :)

>

> Ich denke ich verstehe, was du meinst. Auf der linken Seite
> kommt der Graph ja von oben und nähert sich gegen [mm]-\infty[/mm]
> hin dem Grenzwert 2. Auf der linken Seite ist es umgekehrt.
> Der Graph kommt von unten, wobei sich der Graph gegen
> rechts hin sich stets dem Grenzwert 2 nähert. Die Kurven
> werden somit quasi an der Ordinate gespiegelt, richtig?

>

> Wenn diese Bedingungen vorhanden sind, so sollte ich aber
> dennoch mit dieser Methode vorgehen können:

>

> (2n-5)/(n+1)=2.1
> -1n/10=7.1
> [mm]n=\pm70.1[/mm]

Das ist völlige Unfug. Sämtliche Folgenglieder sind kleiner als 2 und werden somit NIE in den Bereich zwischen 2 und 2.1 gelangen.
Abweichung 0,1 kann auch "0,1 weniger" bedeuten.
Ab wann wird 1,9 überschritten?
Gruß Abakus
>

> Wenn ich also 70.1 als negatives und positives Argument in
> die Funktion einsetze, so müssten dabei die beiden
> Eintauchzahlen herauskommen, die direkt auf dem Radius 0.1
> um den Grenzwert 2 liegen, richtig?
> Ich würde meinen, somit hätte ich dann die
> Aufgabestellung vollständig gelöst.

Bezug
                                
Bezug
n zu vorgegebenen e bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:24 So 17.11.2013
Autor: Taube

Betrachtet man nur die rechte Seite des Graphen, dann ja.

Lg Taube

Bezug
                                        
Bezug
n zu vorgegebenen e bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:29 So 17.11.2013
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> Betrachtet man nur die rechte Seite des Graphen, dann ja.

[haee] Was für ein Graph? [haee]

Hier geht es doch um eine Folge (die erste aus Deinen Aufgaben) - und bei der ist jedes [mm] a_n<2, [/mm] egal wie groß n ist.

Grüße
reverend


Bezug
        
Bezug
n zu vorgegebenen e bestimmen: allgemein lösen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:25 Mo 18.11.2013
Autor: Loddar

Guten Morgen Simon!


Da Du hier jeweils für mehrere unterschiedliche [mm]\varepsilon[/mm]-Werte die zugehörigen n's bestimmen sollst, bietet es sich an, dies jeweils für allgemeines [mm]\varepsilon[/mm] zu lösen.

Da wie oben angedeutet noch nicht bekannt ist, ob Du Dich dem Grenzwert von oben oder unten näherst, lautet die Bestimmungsungleichung:

[mm]\left| \ a_n-a \ \right| \ < \ \varepsilon[/mm]


Machen wir das für Aufgabe a.) mal gemeinsam:

[mm]\left| \ \bruch{2n-5}{n+1}-2 } \ \right| \ = \ \left| \ \bruch{2n-5}{n+1}-\bruch{2*(n+1)}{n+1} \ \right| \ = \ \left| \ \bruch{2n-5-(2n+2)}{n+1} \ \right| \ = \ \left| \ \bruch{2n-5-2n-2}{n+1} \ \right| \ = \ \left| \ \bruch{-7}{n+1} \ \right| \ = \ \bruch{|-7|}{|n+1|} \ = \ \bruch{7}{n+1} \ < \ \varepsilon[/mm]

Nun gilt es also, die Ungleichung [mm]\bruch{7}{n+1}  \ < \ \varepsilon[/mm] nach [mm]n \ > \ ...[/mm] umzustellen.


Gruß
Loddar

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de