natürl. log=log zur Basis 10? < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Mo 26.09.2011 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | | Einige Fragen allg. zu log |
1.Frage
Wenn kein Index am log unten steht, dann ist die Basis wie?
HIntergrund dieser Frage ist eine Aufg. aus einer Kl.-Arb.
[mm] 10^x=32 [/mm] beide Seiten log
log [mm] 10^x= [/mm] log32
x*log [mm] 10^x= [/mm] log32 beide Seiten geteilt durch log 10
So wurde die Aufg. gelöst u. Benotung erfolgte mit voller Pkt.zahl
2.Frage
Es soll 3 Sorten log geben; ich erinnere nur 2, nämlich zur Basis 10 u. zur Basis e. Wie war die dritte?
3.Frage
Für Exponential-Fkt. benutzt man welche dieser Sorten log?
(f. Schule Gym 10.te Kl.)
4.Frage
Ist der 10ner log, der natürl. log?
5.Frage
Ich fand 3 Formeln zu log.
Eine wurde in der Aufg. der Kl.-Arb. angewandt (Frage 1)
Die anderen beiden sind
log xy und log x/y
Welche dieser 3 wird für Exp.Wachstum-/Zerfallsprozesse verwendet auf dem Niveau 10.te Kl. Gym
Oder sind es etwa alle 3?
Ich hoffe es ist jmd. mögl., auf die Fragen der Reihe nach zu beantw.
(würde es f. mich einfacher machen)
Im voraus schon mal - wie immer u. so oft-
vielen vielen DANK
mfg
Sabine
|
|
| |
|
Hallo Sabine,
> Einige Fragen allg. zu log
>
> 1.Frage
> Wenn kein Index am log unten steht, dann ist die Basis
> wie?
In der Regel 10, es bezeichnet [mm]\log[/mm] den dekadischen Logarithmus, also den zur Basis 10, also [mm]\log(x)=\log_{10}(x)[/mm]
Manchmal schreibt man dafür auch [mm]\operatorname{lg}(x)[/mm] ...
In der Informatik schreibt man auch gerne [mm]\log[/mm] für [mm]\log_2[/mm], aber das ist dann Vereinbarungssache, in der Regel ist mit [mm]\log[/mm] der 10er Logarithmus gemeint.
> HIntergrund dieser Frage ist eine Aufg. aus einer
> Kl.-Arb.
> [mm]10^x=32[/mm] beide Seiten log
Da kannst du neben dem 10er Logarithmus aus jeden anderen nehmen, um die Gleichung zu lösen! Stichwort Formel für die Umrechnung zwischen Basen ...
> log [mm]10^x=[/mm] log32 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> x*log [mm]10^x=[/mm] log32
Hier stimmt was nicht! Der Exponent bei der 10 ist zuviel!
Richtig [mm]x\cdot{}\log(10)=\log(32)[/mm]
Nach der Regel [mm]\log_b\left(x^m\right)=m\cdot{}\log_b(x)[/mm]
> beide Seiten geteilt durch log 10
> So wurde die Aufg. gelöst u. Benotung erfolgte mit voller
> Pkt.zahl
>
> 2.Frage
> Es soll 3 Sorten log geben; ich erinnere nur 2, nämlich
> zur Basis 10 u. zur Basis e. Wie war die dritte?
Es gibt doch unendlich viele weitere ... (es gibt doch unendlich viele Basen [mm]b[/mm] ...)
"Bekannt" neben den 2 genannten ist noch der Logarithmus zur Basis 2, also [mm]\log_2(x)[/mm] , der kommt in der Informatik häufig vor ...
>
> 3.Frage
> Für Exponential-Fkt. benutzt man welche dieser Sorten
> log?
> (f. Schule Gym 10.te Kl.)
Es ist der natürliche Logarithmus [mm]\ln(x)=\log_{e}(x)[/mm] (wobei [mm]e\approx 2,718[/mm] die Eulersche Zahl ist) die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion.
Wenn man also Exponentialgleichungen auflösen will, nimmt man den natürlichen Logarithmus:
zB. [mm]e^x=2[/mm]
Nun den [mm]\ln[/mm] auf beiden Seiten anwenden:
[mm]\Rightarrow \ln\left(e^x\right)=\ln(2)[/mm], damit [mm]x\cdot{}\underbrace{\ln(e)}_{=1}=\ln(2)[/mm], also [mm]x=\ln(2)[/mm]
>
> 4.Frage
> Ist der 10ner log, der natürl. log?
Nein, der natürliche ist zur Basis e und wird mit [mm]\ln[/mm] bezeichnet, der 10ner-Logarithmus übleicherweise mit [mm]\log[/mm] oder auch [mm]\operatorname{lg}[/mm]
>
> 5.Frage
> Ich fand 3 Formeln zu log.
> Eine wurde in der Aufg. der Kl.-Arb. angewandt (Frage 1)
> Die anderen beiden sind
> log xy und log x/y
Jo, merke dir die drei Regeln:
(1) [mm]\log_b(x\cdot{}y)=\log_b(x)+\log_b(y)[/mm]
(2) [mm]\log_b(x/y)=\log_b(x)-\log_b(y)[/mm]
(3) [mm]\log_b(x^m)=m\cdot{}\log_b(x)[/mm]
> Welche dieser 3 wird für Exp.Wachstum-/Zerfallsprozesse
> verwendet auf dem Niveau 10.te Kl. Gym
> Oder sind es etwa alle 3?
Das hängt von der konkreten Aufgabe ab.
Schreibe doch mal ein Bsp. auf und konkretisiere deine Frage, das ist so etwas allgemein ...
>
> Ich hoffe es ist jmd. mögl., auf die Fragen der Reihe nach
> zu beantw.
> (würde es f. mich einfacher machen)
Ich hoffe, das ist mir zumindest im Ansatz gelungen ...
> Im voraus schon mal - wie immer u. so oft-
> vielen vielen DANK
> mfg
> Sabine
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mo 26.09.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Schachuzipus,
vielen DANK für deine klärenden Antworten.
Das Wesentliche aber war, dass ich zuvor glaubte, dass der 10ner log der natürl. ist. ("Euler ist also natürl." u. der 10ner ist der 10ner log)
a)
Du sagst [mm] 10^x=32 [/mm] könnte man auch z.B. mit
$ [mm] \log_b(x\cdot{}y)=\log_b(x)+\log_b(y) [/mm] $ umrechnen.
Ich rechne zum ersten mal mit Logarithmen; vielleicht so:
[mm] 10^x [/mm] = [mm] 5^x +5^x [/mm] = [mm] 2*5^x [/mm] = 32
oder 32 = 2*16
Aus welcher Seite muss aus Produkt Faktoren gemacht werden? Ahhhh, es ist egal, es geht nur eine Seite, egal welche, es gehen auch beide gleichzeitig.
Wenn es so ist, dann ist es klar, wie du meinst. Und dann kann man so auch die Formel mit "geteilt u. minus" so machen.
b)
An IN muss kein e als Index mehr, weil IN bereits euler ist. Deshalb ist
$ [mm] \ln(x) [/mm] auch dasselbe wie [mm] \log_{e}(x) [/mm] $
Aber was genau soll jetzt die Umk.-Fkt. zu welcher Exp.-Fkt. sein?
Kannst du bitte vielleicht 1 oder 2 Beispiele nennen?
Meine Kenntnisse zu Umk.-Fkt.: x u. y aus der Fkt. werden so umgestellt, dass sie vertauscht werden können, dann könnte das bereits evtl. die Umk.Fkt. sein. Prüfg., ob die Umk.-Fkt. sich an der Winkelhalbierenden des 3.ten u. 1.ten Quadranten spiegelt, wenn nicht ist die am Anfang herausgefundene Umk.-Fkt. nicht eindeutig. (Ich persönl. finde diese Form der Überprüfg. ziemlich aufwändig; vielleicht habe ich auch etw. noch nicht richtig kapiert.)
Schreibweise: Entweder kl. waagerechter Strich oben drüber oder hoch -1.
Du hattest geschrieben:
Der natürliche Logarithmus ist [mm]\ln(x)=\log_{e}(x)[/mm]
- die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion.
?
Wie kann eine Zahl alleine (2,71) eine Fkt. sein? Oder ist es eine konstantw Fkt.?
c)
Du schriebst:
Will man Exponentialgleichungen auflösen, nimmt man den natürl. Logarithmus, zB. [mm]e^x=2[/mm], nun auf beiden Seiten [mm]\ln[/mm]
Also IN zur Basis Euler (spricht man das so?) ist also immer 1.
Was heißt denn IN ausführl. oder ist IN in, fertig?
Ich habe es ohne die Info [mm][mm] x\cdot{}\underbrace{\ln(e)}_{=1}
[/mm]
so gelöst
$ [mm] \ln\left(e^x\right)=\ln(2) [/mm] $
x*IN e = IN 2 beide Seiten geteiilt durch IN e
x = IN 2, wenn IN e=1
Und es kommt dasselbe raus, wie bei dir. Könnte also passen, muss aber nicht, bin schon so oft reingefallen. Richtig oder nicht?
Für nochmalige Nachhilfe vielen DANK!
Schaue zwischen 20 h u. 21 h heute abend nochmal.
Ich versuche z.Hs. jetzt am Schreibtisch mit all diesen Neuigkeiten mal weiter zu machen. (es gibt noch keine konkrete Aufg., die mir Probl. bereiten. Aber bisher hatte ich auch einfache, ohne Koeffizienten im Exponenten u. so.
Bis Mi muss ich es können. Oje.
Naja, wenn es den Matheraum u. die Menschen darin nicht gäbe......
.... dann wär i so alllein....
Sab.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Mo 26.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Schachuzipus,
> vielen DANK für deine klärenden Antworten.
> Das Wesentliche aber war, dass ich zuvor glaubte, dass der
> 10ner log der natürl. ist. ("Euler ist also natürl." u.
> der 10ner ist der 10ner log)
Zur Klärung:
[mm] \ln=\log_{e}
[/mm]
[mm] \lg=\log_{10}
[/mm]
Bei allen anderen muss ihre Basis angegeben werden. also [mm] \log_{b}
[/mm]
>
> a)
> Du sagst [mm]10^x=32[/mm] könnte man auch z.B. mit
> [mm]\log_b(x\cdot{}y)=\log_b(x)+\log_b(y)[/mm] umrechnen.
> Ich rechne zum ersten mal mit Logarithmen; vielleicht so:
> [mm]10^x[/mm] = [mm]5^x +5^x[/mm] = [mm]2*5^x[/mm] = 32
> oder 32 = 2*16
Oh nein:
[mm] $10^x=32$
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow (2\cdot5)^{x}=32
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \log_{2}(2\cdot5)^{x}=\log_{2}(32)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\cdot\left(\log_{2}(2\cdot5)\right)=\log_{2}(2^{5})
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\cdot\left(\log_{2}(2)+\log_{2}(5)\right)=5\log_{2}(2)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\cdot\left(1+\log_{2}(5)\right)=5\cdot1
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x=\frac{5}{1+\log_{2}(5)}
[/mm]
Alternativ:
[mm] $10^x=32$
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \lg(10^{x})=\lg(32)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\lg(10)=\lg(32)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x=\lg(32)
[/mm]
> Aus welcher Seite muss aus Produkt Faktoren gemacht
> werden? Ahhhh, es ist egal, es geht nur eine Seite, egal
> welche, es gehen auch beide gleichzeitig.
> Wenn es so ist, dann ist es klar, wie du meinst. Und dann
> kann man so auch die Formel mit "geteilt u. minus" so
> machen.
Dieser Satz ist mir leider völlig unklar.
>
> b)
> An IN muss kein e als Index mehr, weil IN bereits euler
> ist. Deshalb ist
> [mm]\ln(x) auch dasselbe wie \log_{e}(x)[/mm]
So ist es
> Aber was genau soll
> jetzt die Umk.-Fkt. zu welcher Exp.-Fkt. sein?
> Kannst du bitte vielleicht 1 oder 2 Beispiele nennen?
[mm] y=b^{x} \leftrightarrow x=\log_{b}(y)
> Meine Kenntnisse zu Umk.-Fkt.: x u. y aus der Fkt. werden
> so umgestellt, dass sie vertauscht werden können, dann
> könnte das bereits evtl. die Umk.Fkt. sein. Prüfg., ob
> die Umk.-Fkt. sich an der Winkelhalbierenden des 3.ten u.
> 1.ten Quadranten spiegelt, wenn nicht ist die am Anfang
> herausgefundene Umk.-Fkt. nicht eindeutig. (Ich persönl.
> finde diese Form der Überprüfg. ziemlich aufwändig;
> vielleicht habe ich auch etw. noch nicht richtig kapiert.)
> Schreibweise: Entweder kl. waagerechter Strich oben
> drüber oder hoch -1.
Das ist wirr.
Die Unkehrfunktion findest du, indem du die Gleichung y=... nach x umstellst, und dann die Variablen tauscht.
Beispiele:
f(x)=y=2x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}y\leftrightarrow f^{-1}(x)=y=\frac{1}{2}x
y=\sqrt[3]{x}\Leftrightarrow x=y^{3}\leftrightarrow f^{-1}(x)=y=x^{3}
> Du hattest geschrieben:
> Der natürliche Logarithmus ist [/mm] [mm]\ln(x)=\log_{e}(x)[/mm]
> - die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion.
> ?
> Wie kann eine Zahl alleine (2,71) eine Fkt. sein? Oder ist
> es eine konstantw Fkt.?
Der Logarithmus ist eine Funktion, der natürliche eine mit besonderer Basis e.
>
> c)
> Du schriebst:
> Will man Exponentialgleichungen auflösen, nimmt man den
> natürl. Logarithmus, zB. [mm]e^x=2[/mm], nun auf beiden Seiten [mm]\ln[/mm]
> Also IN zur Basis Euler (spricht man das so?) ist also
> immer 1.
Der Begriff "natürlicher Logarithmus", "Logarihtmus naturalis" oder kurz der "LN" reicht.
> Was heißt denn IN ausführl. oder ist IN in, fertig?
> Ich habe es ohne die Info
> [mm]x\cdot{}\underbrace{\ln(e)}_{=1}[/mm]
so gelöst
[mm]\ln\left(e^x\right)=\ln(2)[/mm]
x*IN e = IN 2 beide Seiten geteiilt durch IN e
Es gilt:
[mm] \ln(e)=1, [/mm] also brauchst du nicht mal mehr zu dividieren.
Weitere Informationen zum Logartihmus:
http://www.strobl-f.de/grund103.pdf
http://www.poenitz-net.de/Mathematik/1.Algebra/1.7.S.Logarithmen.pdf
|
|
|
|
