natürliche Splines < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Mo 09.07.2012 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | Folgende Datenpunkte: (-1/4),(0/2),(1/8),(2,-4)
Es soll ein Gleichungssystem angegeben werden das M0, M1, M2, M3 löst.
Das Interpolationspolynom s0 soll angegeben werden. |
Sind Momente nicht die Schnittpunkte der Geraden von jeweils 2 Datensätzen?
Ich bekomme mit den Datensätzen aber dann nur 3 Momente hin, oder?
Wo krieg ich also den 4ten her?
Wie krieg ich s0 in?
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Hallo gotoxy86,
> Folgende Datenpunkte: (-1/4),(0/2),(1/8),(2,-4)
>
> Es soll ein Gleichungssystem angegeben werden das M0, M1,
> M2, M3 löst.
>
> Das Interpolationspolynom s0 soll angegeben werden.
> Sind Momente nicht die Schnittpunkte der Geraden von
> jeweils 2 Datensätzen?
>
> Ich bekomme mit den Datensätzen aber dann nur 3 Momente
> hin, oder?
>
Meines Wissens sind die Momente die
zweiten Ableitungen der Splines an den Knoten (hier: -1,0,1,2).
>
> Wo krieg ich also den 4ten her?
>
> Wie krieg ich s0 in?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 09.07.2012 | | Autor: | gotoxy86 |
wo aber liegt dann der Sinn, diese Momente berechnen zu wollen, wenn diese ablesen kann?
"Geben Sie das Gleichungssystem an, mit dem Momente Mi, i=0, 1, 2, 3, berechnet werden!"
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> wo aber liegt dann der Sinn, diese Momente berechnen zu
> wollen, wenn diese ablesen kann?
Hallo,
ich verstehe überhaupt nicht, was Du meinst.
Wo kann man die gesuchten Momente Deiner Meinung nach ablesen?
> "Geben Sie das Gleichungssystem an, mit dem Momente Mi,
> i=0, 1, 2, 3, berechnet werden!"
Ich habe noch nicht ausprobiert, ob mein Plan wirklich funktioniert, aber ich würde es mal so angehen:
für [mm] M_0 [/mm] und [mm] M_4 [/mm] ist ja schonmal gar nichts zu rechnen, denn der Überschrift entnehme ich, daß ein natürlicher Spline gesucht ist.
Es geht ja um kubische Splines.
Die drei Funktionen, aus denen der Spline besteht, sind also kubische Polynome, ihre 1. Ableitungen quadratische und die 2.Ableitungen lineare.
Ich würde jetzt erstmal mithilfe der [mm] M_i [/mm] die drei 2. Ableitungen, also Geradengleichungen, aus denen die 2.Ableitung des Splines besteht, hinschreiben.
Per Integration bekommst Du die ersten Ableitungen der Teilstücke.
Aus der Forderung nach Stetigkeit müßte man nun die Integrationskonstanten bekommen.
Eine weitere Integration ergibt die drei Funktionen, aus denen der Spline besteht, auch hier bekommt man wie oben die Integrationskonstanten.
Jetzt hat man den Spline in Abhängigkeit von den [mm] M_i, [/mm] und wenn man nun nochmal die Stetigkeit der 1. Ableitung ins Feld führt, sollte man die Gleichungen haben, mit denen man die Momente bekommt.
Rückfragen bitte ggf. mit kommentierter Rechnung.
Nur so können wir sehen, ob maein Plan an irgendeiner Stelle hinkt.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Di 10.07.2012 | | Autor: | gotoxy86 |
S^('')=mx+b mit Hilfe der Datenpunkte
[mm] S_1^{''}=-2x+2 [/mm]
[mm] S_2^{''}=6x+2
[/mm]
[mm] S_3^{''}=-12x+20
[/mm]
Das sind jetzt die Momente, oder?
Integration:
[mm] S_1^{'}=-x^2+2x+A
[/mm]
[mm] S_2^{'}=3x^2+2x+B
[/mm]
[mm] S_3^{'}=-6x^2+20x+C
[/mm]
Integration:
[mm] S_1=-\bruch{1}{3}x^3+x^2+Ax+A'
[/mm]
[mm] S_2=x^3+x^2+Bx+B'
[/mm]
[mm] S_3=-2x^3+10x^2+Cx+C'
[/mm]
[mm] \Rightarrow S_0=-\bruch{1}{3}x^3+x^2+Ax+A'+x^3+x^2+Bx+B'-2x^3+10x^2+Cx+C'
[/mm]
[mm] \Rightarrow S_0=-\bruch{4}{3}x^3+12x^2+Dx+D'
[/mm]
Ist das jetzt der Interpolationspolynom?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Di 10.07.2012 | | Autor: | gotoxy86 |
Am Anfang:
Das sind jetzt die Momente, oder?
Am Ende:
Ist das jetzt der Interpolationspolynom?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Di 10.07.2012 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | | Ich bin auf dem Gebiet ziemlich schlecht, vllt. gibt mir jemand eine Anleitung für Dummies? |
[mm] \pmat{2&0&0&0\\0.5&2&0.5&0\\0&0.5&2&0.5\\0&0&0&0.5}\pmat{M_0\\M_1\\M_2\\M_3}=\pmat{0\\27\\-54\\0}\Rightarrow [/mm]
[mm] M_0=0
[/mm]
[mm] M_1=21.6
[/mm]
[mm] M_2=-32.4
[/mm]
[mm] M_3=0
[/mm]
Jetzt muss ich das Interpolisationspolynom [mm] S_0 [/mm] berechnen. Aber wie?
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> Ich bin auf dem Gebiet ziemlich schlecht, vllt. gibt mir
> jemand eine Anleitung für Dummies?
>
> [mm]\pmat{2&0&0&0\\
0.5&2&0.5&0\\
0&0.5&2&0.5\\
0&0&0&0.5}\pmat{M_0\\
M_1\\
M_2\\
M_3}=\pmat{0\\
27\\
-54\\
0}\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]M_0=0[/mm]
> [mm]M_1=21.6[/mm]
> [mm]M_2=-32.4[/mm]
> [mm]M_3=0[/mm]
Hallo,
das ist unkorrigierbar, da Du nicht verrätst, wo die obige Matrix herkommt.
Du müßtest Deine Überlegungen schon so notieren, daß man sie anschauend nachvollziehen kann, ohne alles selbst zu rechnen.
LG Angela
>
> Jetzt muss ich das Interpolisationspolynom [mm]S_0[/mm] berechnen.
> Aber wie?
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Mi 11.07.2012 | | Autor: | gotoxy86 |
Die 2 in der Matrix das steht so im Skript, da kommt immer ne 2 hin.
die 0.5 errechnet sich aus [mm] \mu_j=\bruch{h_j}{h_j+h_{j+1}} [/mm] und [mm] \lambda=1-\mu_j, [/mm] wobei [mm] h_j [/mm] der Abstand von t-Werten ist.
die Zahlen im Ergebnis kommen so zustande: [mm] d_j=\bruch{6}{h_j+h_{j+1}}\left(\bruch{y_{j+1}-y_j}{h_{j+1}}-\bruch{y_j-y_{j-1}}{h_j}\right)
[/mm]
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:14 Mi 11.07.2012 | | Autor: | gotoxy86 |
> Die 2 in der Matrix das steht so im Skript, da kommt immer
> ne 2 hin.
> die 0.5 errechnet sich aus [mm]\mu_j=\bruch{h_j}{h_j+h_{j+1}}[/mm]
> und [mm]\lambda=1-\mu_j,[/mm] wobei [mm]h_j[/mm] der Abstand von t-Werten
> ist.
>
> die Zahlen im Ergebnis kommen so zustande:
> [mm]d_j=\bruch{6}{h_j+h_{j+1}}\left(\bruch{y_{j+1}-y_j}{h_{j+1}}-\bruch{y_j-y_{j-1}}{h_j}\right)[/mm]
>
>
>
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> > Die 2 in der Matrix das steht so im Skript, da kommt immer
> > ne 2 hin.
> > die 0.5 errechnet sich aus
> [mm]\mu_j=\bruch{h_j}{h_j+h_{j+1}}[/mm]
> > und [mm]\lambda=1-\mu_j,[/mm] wobei [mm]h_j[/mm] der Abstand von t-Werten
> > ist.
> >
> > die Zahlen im Ergebnis kommen so zustande:
> >
> [mm]d_j=\bruch{6}{h_j+h_{j+1}}\left(\bruch{y_{j+1}-y_j}{h_{j+1}}-\bruch{y_j-y_{j-1}}{h_j}\right)[/mm]
> >
> >
> >
>
Hallo,
Du bist ja ein Spaßvogel:
Du hast im Skript bereits einen Rohling für das Gleichungssystem und verrätst das gar nicht!
Da müssen wir ja gar nicht mehr scharf nachdenken, sondern brauchen bloß einzusetzen.
Ich dachte, man müsse das herleiten.
Du solltest, wenn ich das prüfen soll, verraten, wie die Matrix im Skript aussieht, denn ich mag' mir das ohne Not nicht selbst ausdenken.
(Es könnte übrigens sein, daß es bei Dir im Skript Matrizen für natürliche/periodische/vollständige Randbedingungen gibt.
Falls das der Fall ist, nimm gleich die für natürliche, denn die Matrix ist deutlich kleiner.)
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Mi 11.07.2012 | | Autor: | gotoxy86 |
[mm] h_{j+1}=t_{j+1}+t_j
[/mm]
[mm] d_j=\bruch{6}{h_j+h_{j+1}}\left(\bruch{y_{j+1}-y_j}{h_{j+1}}-\bruch{y_j-y_{j-1}}{h_j}\right)=6f[t_{j-1},t_j,t_{j+1}]
[/mm]
[mm] \mu_j=\bruch{h_j}{h_j+h_{j+1}}
[/mm]
[mm] \lambda_j=1-\mu_j
[/mm]
[mm] \pmat{2&\lambda_0&0&...&0\\\mu_1&2&\lambda_1&...&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&...&\mu_{n-1}&2&\lambda_{n-1}\\0&...&0&\mu_n&2}\pmat{M_0\\M_1\\\vdots\\M_{n-1}\\M_n}=\pmat{d_0\\d_1\\\vdots\\d_{n-1}\\d_1}
[/mm]
[mm] M_0=M_n=0
[/mm]
Randbedingungen
[mm] 2M_0+\lambda_0M_1=d_0
[/mm]
[mm] \mu_nM_{n-1}+2M_n=d_n
[/mm]
[mm] \lambda_0=\mu_n=d_0=d_n=0
[/mm]
Alles eingesetzt ergibt obiges, wobei ich aber nicht weiß, was der zweite Teil von [mm] d_j [/mm] bedeutet.
Wie komme ich von dem auf [mm] s_0?[/mm]
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> Ich bin auf dem Gebiet ziemlich schlecht, vllt. gibt mir
> jemand eine Anleitung für Dummies?
>
> [mm]\pmat{2&0&0&0\\
0.5&2&0.5&0\\
0&0.5&2&0.5\\
0&0&0&0.5}\pmat{M_0\\
M_1\\
M_2\\
M_3}=\pmat{0\\
27\\
-54\\
0}\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]M_0=0[/mm]
> [mm]M_1=21.6[/mm]
> [mm]M_2=-32.4[/mm]
> [mm]M_3=0[/mm]
Hallo,
bei der 27 muß eine 24 stehen, wahrscheinlich ist's nur ein Tippfehler.
Deine Ergebnisse für die Momente sind richtig.
>
> Jetzt muss ich das Interpolisationspolynom [mm]S_0[/mm] berechnen.
> Aber wie?
Du mußt nicht ein Polynom berechnen, sondern die drei Polynome, welche dann den Spline ergeben.
Wie das geht, steht garantiert in Deinem Skript, ich mag das jetzt eigentlich nicht alles abtippen. Du kannst Du es auch ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen. Man muß bloß einsetzen.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Do 12.07.2012 | | Autor: | gotoxy86 |
Was in diesem Scripten steht, versteh ich in der Regel nicht.
Ich brauch einfach ein Anwendungsbeispiel.
Ich finde leider keins im Internet.
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> S^('')=mx+b mit Hilfe der Datenpunkte
> [mm]S_1^{''}=-2x+2[/mm]
> [mm]S_2^{''}=6x+2[/mm]
> [mm]S_3^{''}=-12x+20[/mm]
> Das sind jetzt die Momente, oder?
Hallo,
nein.
Du hast hier nicht die 2.Ableitungen hingeschrieben, sondern die Gleichungen der Geraden, die Deine 4 Stützpunkte [mm] (x_i, y_i), [/mm] i=1,2,3,4, verbinden.
Die interessieren aber niemanden.
Nochmal: wir wissen, daß die zweiten Ableitungen Geradengleichungen sind.
Die [mm] M_i [/mm] sind die zweiten Ableitungen an der Stelle [mm] x_i, [/mm] welche wir noch nicht kennen.
Es ist also
[mm] s_1''(-1)=0
[/mm]
[mm] s_1''(0)=M_1
[/mm]
[mm] s_2''(0)=M_1
[/mm]
[mm] s_2''(1)=M_2
[/mm]
[mm] s_3''(1)=M_2
[/mm]
[mm] s_3''(2)=0
[/mm]
Mit diesen Informationen kann man die Geradengleichungen für [mm] s_i''(x) [/mm] aufstellen. Natürlich enthalten sie die Momente [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2.
[/mm]
Dann mal so weiter, wie ich zuvor gesagt habe.
Ob's funktioniert, sehen wir dann ja. Ich hab' eigentlich wenig Zweifel.
> Integration:
> [mm]S_1^{'}=-x^2+2x+A[/mm]
> [mm]S_2^{'}=3x^2+2x+B[/mm]
> [mm]S_3^{'}=-6x^2+20x+C[/mm]
> Integration:
> [mm]S_1=-\bruch{1}{3}x^3+x^2+Ax+A'[/mm]
> [mm]S_2=x^3+x^2+Bx+B'[/mm]
> [mm]S_3=-2x^3+10x^2+Cx+C'[/mm]
Wenn das richtig wäre, müßte ja z.B. [mm] s_1(0)=2 [/mm] sein.
Bei Dir ist aber [mm] s_1(0)=A', [/mm] was schon daraufhindeutet, daß irgendwas im Argen liegt...
> [mm]\Rightarrow S_0=-\bruch{1}{3}x^3+x^2+Ax+A'+x^3+x^2+Bx+B'-2x^3+10x^2+Cx+C'[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow S_0=-\bruch{4}{3}x^3+12x^2+Dx+D'[/mm]
> Ist das jetzt
> der Interpolationspolynom?
Oh weh. Du hast etwas ganz Wesentliches nicht verstanden, oder um es schonungslos zu formulieren: Du weißt überhaupt nicht, worum es geht!
Ich sage nochmal, was ein kubischer Spline ist:
Du hast Punkte gegeben, durch welche eine Funktion mit gewissen Eigenschaften gelegt werden soll.
Diese Funktion ist abschnittweise definiert, und zwar so, daß sie
a.) jeweils zwei benachbarte Punkten durch ein kubisches Polynom verbindet,
b.) der Endpunkt des einen Abschnittes der Anfangspunkt des nächsten ist,
c.) die 1. Ableitungen in den vorgegebenen (Innen)Punkten übereinstimmen,
d.) die 2. Ableitungen in den vorgegebenen (Innen)Punkten übereinstimmen,
e.) die 2. Ableitungen in den beiden Randpunkten =0 sind (beim nat. Spline).
Deine Splinefunktion s müßte am Ende so aussehen:
[mm] s:[-1,2]\to \IR
[/mm]
[mm]s(x):=\begin{cases} s_1(x):=..., & \mbox{fuer } -1\le x<0 \mbox{ } \\ s_2(x):=..., & \mbox{fuer } 0\le x<1 \mbox{ } \\ s_3(x):=..., & \mbox{fuer } 1\le x\le 2 \mbox{ } \\ \end{cases}[/mm].
LG Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:53 Mi 11.07.2012 | | Autor: | gotoxy86 |
>
> > S^('')=mx+b mit Hilfe der Datenpunkte
> > [mm]S_1^{''}=-2x+2[/mm]
> > [mm]S_2^{''}=6x+2[/mm]
> > [mm]S_3^{''}=-12x+20[/mm]
> > Das sind jetzt die Momente, oder?
>
> Hallo,
>
> nein.
> Du hast hier nicht die 2.Ableitungen hingeschrieben,
> sondern die Gleichungen der Geraden, die Deine 4
> Stützpunkte [mm](x_i, y_i),[/mm] i=1,2,3,4, verbinden.
> Die interessieren aber niemanden.
>
> Nochmal: wir wissen, daß die zweiten Ableitungen
> Geradengleichungen sind.
> Die [mm]M_i[/mm] sind die zweiten Ableitungen an der Stelle [mm]x_i,[/mm]
> welche wir noch nicht kennen.
> Es ist also
> [mm]s_1''(-1)=0[/mm]
> [mm]s_1''(0)=M_1[/mm]
>
> [mm]s_2''(0)=M_1[/mm]
> [mm]s_2''(1)=M_2[/mm]
>
> [mm]s_3''(1)=M_2[/mm]
> [mm]s_3''(2)=0[/mm]
>
> Mit diesen Informationen kann man die Geradengleichungen
> für [mm]s_i''(x)[/mm] aufstellen. Natürlich enthalten sie die
> Momente [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2.[/mm]
Ich hab hier schon den Anschluss verloren, leider.
Was soll ich denn jetzt damit machen? War die Matrix richtig?
>
> Dann mal so weiter, wie ich zuvor gesagt habe.
> Ob's funktioniert, sehen wir dann ja. Ich hab' eigentlich
> wenig Zweifel.
>
>
>
> > Integration:
> > [mm]S_1^{'}=-x^2+2x+A[/mm]
> > [mm]S_2^{'}=3x^2+2x+B[/mm]
> > [mm]S_3^{'}=-6x^2+20x+C[/mm]
> > Integration:
> > [mm]S_1=-\bruch{1}{3}x^3+x^2+Ax+A'[/mm]
> > [mm]S_2=x^3+x^2+Bx+B'[/mm]
> > [mm]S_3=-2x^3+10x^2+Cx+C'[/mm]
>
> Wenn das richtig wäre, müßte ja z.B. [mm]s_1(0)=2[/mm] sein.
> Bei Dir ist aber [mm]s_1(0)=A',[/mm] was schon daraufhindeutet,
> daß irgendwas im Argen liegt...
Ich hab es nicht verstanden, ich hab nur ein paar Aufgaben ungelöst, und Skript, aber keine Beispiele. Ich bin so der Typ, wenn man es vormachen muss oder zumindest genau sagt, was man machen muss, wenn man sich allgemein hält, wie das Script, kommt bei mir nur Lernfrust.
>
> > [mm]\Rightarrow S_0=-\bruch{1}{3}x^3+x^2+Ax+A'+x^3+x^2+Bx+B'-2x^3+10x^2+Cx+C'[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow S_0=-\bruch{4}{3}x^3+12x^2+Dx+D'[/mm]
> > Ist das
> jetzt
> > der Interpolationspolynom?
>
> Oh weh. Du hast etwas ganz Wesentliches nicht verstanden,
> oder um es schonungslos zu formulieren: Du weißt
> überhaupt nicht, worum es geht!
>
> Ich sage nochmal, was ein kubischer Spline ist:
> Du hast Punkte gegeben, durch welche eine Funktion mit
> gewissen Eigenschaften gelegt werden soll.
> Diese Funktion ist abschnittweise definiert, und zwar so,
> daß sie
> a.) jeweils zwei benachbarte Punkten durch ein kubisches
> Polynom verbindet,
> b.) der Endpunkt des einen Abschnittes der Anfangspunkt
> des nächsten ist,
> c.) die 1. Ableitungen in den vorgegebenen (Innen)Punkten
> übereinstimmen,
> d.) die 2. Ableitungen in den vorgegebenen (Innen)Punkten
> übereinstimmen,
> e.) die 2. Ableitungen in den beiden Randpunkten =0 sind
> (beim nat. Spline).
>
> Deine Splinefunktion s müßte am Ende so aussehen:
>
> [mm]s:[-1,2]\to \IR[/mm]
>
> [mm]s(x):=\begin{cases} s_1(x):=..., & \mbox{fuer } -1\le x<0 \mbox{ } \\ s_2(x):=..., & \mbox{fuer } 0\le x<1 \mbox{ } \\ s_3(x):=..., & \mbox{fuer } 1\le x\le 2 \mbox{ } \\ \end{cases}[/mm].
>
> LG Angela
>
Vielen Dank, aber deine letzten Ausführungen kenne ich schon, kann nur leider nix mit anfangen.
Das ist für mich zu schwer.
>
>
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> >
> > > S^('')=mx+b mit Hilfe der Datenpunkte
> > > [mm]S_1^{''}=-2x+2[/mm]
> > > [mm]S_2^{''}=6x+2[/mm]
> > > [mm]S_3^{''}=-12x+20[/mm]
> > > Das sind jetzt die Momente, oder?
> >
> > Hallo,
> >
> > nein.
> > Du hast hier nicht die 2.Ableitungen hingeschrieben,
> > sondern die Gleichungen der Geraden, die Deine 4
> > Stützpunkte [mm](x_i, y_i),[/mm] i=1,2,3,4, verbinden.
> > Die interessieren aber niemanden.
> >
> > Nochmal: wir wissen, daß die zweiten Ableitungen
> > Geradengleichungen sind.
> > Die [mm]M_i[/mm] sind die zweiten Ableitungen an der Stelle [mm]x_i,[/mm]
> > welche wir noch nicht kennen.
> > Es ist also
> > [mm]s_1''(-1)=0[/mm]
> > [mm]s_1''(0)=M_1[/mm]
> >
> > [mm]s_2''(0)=M_1[/mm]
> > [mm]s_2''(1)=M_2[/mm]
> >
> > [mm]s_3''(1)=M_2[/mm]
> > [mm]s_3''(2)=0[/mm]
> >
> > Mit diesen Informationen kann man die Geradengleichungen
> > für [mm]s_i''(x)[/mm] aufstellen. Natürlich enthalten sie die
> > Momente [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2.[/mm]
>
> Ich hab hier schon den Anschluss verloren, leider.
Hallo,
mit dieser Mittielung kann man wenig anfangen.
Du müßtest schon erklären, was genau Du nicht verstehst.
Aber ich denke, wir sind der Angelegenheit auf der Spur:
Du mußt die Gleichung ja gar nicht herleiten, sondern bloß in einen Dir zur Verfügung stehenden Rohling einsetzen.
Ich denke, damit hat sich diese Abzweigung Deines Threads erübrigt, und wir können im anderen Abzweig weitermachen.
LG Angela
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