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| Aufgabe | Für welche ungeraden natürlichen Zahlen n ist
[mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{1}{n} \in \IN?? [/mm] |
Hi,
hier eine kleine Lösung dazu:
Für n=1 ist die Summe gleich 1, also eine natürliche Zahl. Sein nun [mm] n\ge [/mm] 3 und
[mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{1}{n}=\bruch{Z}{N}
[/mm]
mit N=1*3*5***n und [mm] Z=\bruch{N}{1}+\bruch{N}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{N}{n}.
[/mm]
Nach Bertrands Postulat gibt es eine Primzahl p im Intervall [mm] [\bruch{n+1}{2}...n+1] [/mm] und da n+1 gerade ist, ist [mm] p\not=n+1 [/mm] und p ist eine ungerade Zahl mit [mm] \bruch{n+1}{2}\le [/mm] p [mm] \le [/mm] n.
Insebesondere teilt p keine andere Zahl in der Menge [1,3,....,n] und deshalb teilt sie N nur ein Mal, nämlich p teilt [mm] \bruch{N}{i} [/mm] für alle [mm] i\not=p [/mm] aber p teilt nicht [mm] \bruch{N}{p}.
[/mm]
Somit teilt p den Nenner N aber nicht den Zähler Z und [mm] \bruch{Z}{N} [/mm] kann nicht ganz sein.
_________
So, das war die Lösung dazu. Leider verstehe ich hier nicht alle Schritte.
Ist das Ergebnis dann eigentlich, dass nur für n=1 die Summe [mm] \in \IN [/mm] ist??
> Für n=1 ist die Summe gleich 1, also eine natürliche Zahl. Sein nun [mm] n\ge [/mm] 3 und
> [mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{1}{n}=\bruch{Z}{N}
[/mm]
> mit N=1*3*5***n und [mm] Z=\bruch{N}{1}+\bruch{N}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{N}{n}.
[/mm]
Das ist klar.
> Nach Bertrands Postulat gibt es eine Primzahl p im Intervall [mm] [\bruch{n+1}{2}...n+1] [/mm] und da n+1 gerade ist, ist [mm] p\not=n+1 [/mm] und p ist eine ungerade Zahl mit [mm] \bruch{n+1}{2}\le [/mm] p [mm] \le [/mm] n.
Das sagt doch eigentlich nur, dass es zwischen einer Zahl und dem doppelten dieser Zahl eine Primzahl liegen muss, oder??
Jetzt kommt der Schritt, den ich nicht verstehe.
> Insebesondere teilt p keine andere Zahl in der Menge [1,3,....,n] und deshalb teilt sie N nur ein Mal, nämlich p teilt [mm] \bruch{N}{i} [/mm] für alle [mm] i\not=p [/mm] aber p teilt nicht [mm] \bruch{N}{p}.
[/mm]
> Somit teilt p den Nenner N aber nicht den Zähler Z und [mm] \bruch{Z}{N} [/mm] kann nicht ganz sein.
Was wollen die hier zeigen?
In dem Intervall [1,3,....,n] müsste doch p eigentlich sich selber teilen, oder? denn p müsste ja auch [mm] \in [/mm] [1,3,....,n] sein? Soll das hiermit gemeint sein: p teilt [mm] \bruch{N}{i}? [/mm] Oder was bedeutet [mm] \bruch{N}{i}??
[/mm]
so ganz verstehe ich nicht, was die am Schluss gezeigt haben.
Grüße
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Hallo Steve,
das ist ein hübscher Beweis, den Du da mitbringst. 
> Für welche ungeraden natürlichen Zahlen n ist
>
> [mm]\bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{1}{n} \in \IN??[/mm]
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> Hi,
>
> hier eine kleine Lösung dazu:
>
>
> Für n=1 ist die Summe gleich 1, also eine natürliche
> Zahl. Sein nun [mm]n\ge[/mm] 3 und
>
> [mm]\bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{1}{n}=\bruch{Z}{N}[/mm]
>
> mit N=1*3*5***n und
> [mm]Z=\bruch{N}{1}+\bruch{N}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{N}{n}.[/mm]
>
> Nach Bertrands Postulat gibt es eine Primzahl p im
> Intervall [mm][\bruch{n+1}{2}...n+1][/mm] und da n+1 gerade ist, ist
> [mm]p\not=n+1[/mm] und p ist eine ungerade Zahl mit
> [mm]\bruch{n+1}{2}\le[/mm] p [mm]\le[/mm] n.
>
> Insebesondere teilt p keine andere Zahl in der Menge
> [1,3,....,n] und deshalb teilt sie N nur ein Mal, nämlich
> p teilt [mm]\bruch{N}{i}[/mm] für alle [mm]i\not=p[/mm] aber p teilt nicht
> [mm]\bruch{N}{p}.[/mm]
>
> Somit teilt p den Nenner N aber nicht den Zähler Z und
> [mm]\bruch{Z}{N}[/mm] kann nicht ganz sein.
> _________
>
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> So, das war die Lösung dazu. Leider verstehe ich hier
> nicht alle Schritte.
>
> Ist das Ergebnis dann eigentlich, dass nur für n=1 die
> Summe [mm]\in \IN[/mm] ist??
Ja, richtig.
> > Für n=1 ist die Summe gleich 1, also eine natürliche
> Zahl. Sein nun [mm]n\ge[/mm] 3 und
> >
> [mm]\bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{1}{n}=\bruch{Z}{N}[/mm]
> > mit N=1*3*5***n und
> [mm]Z=\bruch{N}{1}+\bruch{N}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{N}{n}.[/mm]
>
> Das ist klar.
>
> > Nach Bertrands Postulat gibt es eine Primzahl p im
> Intervall [mm][\bruch{n+1}{2}...n+1][/mm] und da n+1 gerade ist, ist
> [mm]p\not=n+1[/mm] und p ist eine ungerade Zahl mit
> [mm]\bruch{n+1}{2}\le[/mm] p [mm]\le[/mm] n.
>
> Das sagt doch eigentlich nur, dass es zwischen einer Zahl
> und dem doppelten dieser Zahl eine Primzahl liegen muss,
> oder??
Das sagt Bertrand. Hier wird das nun angewandt, um zu zeigen, dass eine der ungeraden Zahlen "in der zweiten Hälfte" prim sein muss.
> Jetzt kommt der Schritt, den ich nicht verstehe.
>
> > Insebesondere teilt p keine andere Zahl in der Menge
> [1,3,....,n] und deshalb teilt sie N nur ein Mal, nämlich
> p teilt [mm]\bruch{N}{i}[/mm] für alle [mm]i\not=p[/mm] aber p teilt nicht
> [mm]\bruch{N}{p}.[/mm]
> > Somit teilt p den Nenner N aber nicht den Zähler Z und
> [mm]\bruch{Z}{N}[/mm] kann nicht ganz sein.
>
>
> Was wollen die hier zeigen?
>
> In dem Intervall [1,3,....,n] müsste doch p eigentlich
> sich selber teilen, oder? denn p müsste ja auch [mm]\in[/mm]
> [1,3,....,n] sein? Soll das hiermit gemeint sein: p teilt
> [mm]\bruch{N}{i}?[/mm] Oder was bedeutet [mm]\bruch{N}{i}??[/mm]
Das gemeinte p liegt nicht nur in [1,3,...,n], sondern sogar in [(n+1)/2,....,n-2,n]
Selbst wenn der Nenner nicht bereinigt wird (sprich: die gesamte Summe also ordnungsgemäß gekürzt wird), so kommt trotzdem nur einmal der Faktor p darin vor. Andererseits muss der Nenner (gekürzt oder nicht), ja durch jede der ungeraden Zahlen von 3 bis n teilbar sein. Wenn ich nun durch eine dieser Zahlen, beliebig als i bezeichnet, teile, dann bleibt das Ergebnis [mm] \tfrac{N}{i} [/mm] auch noch durch p teilbar, außer eben, wenn i=p ist.
Der Zähler - um den geht es ja, er ist dargestellt (ungekürzt) als [mm] \summe\tfrac{N}{i} [/mm] - besteht also aus lauter Summanden, die durch p teilbar sind, und einem, der nicht durch p teilbar ist. Die Summe kann daher nicht durch p teilbar sein.
> so ganz verstehe ich nicht, was die am Schluss gezeigt
> haben.
Jetzt fehlt ja nur noch die Überlegung, dass N durch p teilbar war. Also steht im Nenner der Faktor p, im Zähler aber nicht, so dass er sich nicht wegkürzt. Damit kann der ganze Bruch [mm] \tfrac{Z}{P} [/mm] also keine ganze Zahl sein.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Fr 01.07.2011 | | Autor: | steve.joke |
danke für die erklärung.
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