nicht Lipschitzstetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 Sa 01.08.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
hab eine Frage zu ne Beweis und zwar:
Behauptung: f:[0,b] [mm] \to \IR [/mm] f(x)= [mm] \wurzel{x} [/mm] ist nicht Lipschitzstetig:
Sei L>0 bel. Zz. Es gibt x,y [mm] \in [/mm] [0,b] mit |f(x) -f(y)| >L|x-y|
Seien 0 [mm] \le [/mm] x < y < min {b, 1/2b} Dann gilt [mm] 1/2\wurzel{y} [/mm] >L.
Wie man auf dies Wahl kommt mit dem Minimum versteh ich nicht und wie araus folgt, dass das ganze größer als L sein soll.
Der Rest des Beweises ist dann nur noch einsetzen und ziemlich klar
Hoffe mir kann jmd. helfen,
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:53 Sa 01.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Meiner Meinung nach musst du dich irgendwie vertippt haben, kann mir aus deinem Beweisvorschlag leider keinen Reim machen.
Dass [mm] x\mapsto\sqrt(x) [/mm] auf [0,b] nicht Lipschitz stetig ist, ist sehr einfach: anschaulich ist ja klar, dass es in der Nähe von 0 beliebig steil wird.
Wir wollen zeigen: zu jedem L>0 gibt es [mm] x,y\in[0,b] [/mm] mit
[mm] |\sqrt{y}-\sqrt{x}|>L|y-x|
[/mm]
Wähle einfach x=0, [mm] y=min\{b,\frac{1}{4L^2}\}, [/mm] dann gilt:
[mm] |\sqrt{y}-\sqrt{x}|=\frac{1}{2L}\geq\frac{1}{4L}=L|y-x|
[/mm]
man muss also einfach nur guggen wie nah man an 0 kommen muss, damit's steiler als L wir, und fertig...
hilft#s was?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:10 Sa 01.08.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hi,
Vielen Dank schonmal
Also so wies der Prof gemacht hat, müsst es schon richtig, aber ich komm einfach nich drauf?
Kann vllt. noch ein anderer mal gucken, bitte
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:28 Sa 01.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Vielen Dank schonmal
> Also so wies der Prof gemacht hat, müsst es schon
> richtig, aber ich komm einfach nich drauf?
> Kann vllt. noch ein anderer mal gucken, bitte
Andrey hat da voellig recht: entweder hat dein Prof Quark an die Tafel geschrieben, oder du hast es falsch abgeschrieben (oder beides).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:33 Sa 01.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Andrey,
> Wähle einfach x=0, [mm]y=min\{b,\frac{1}{4L^2}\},[/mm] dann gilt:
> [mm]|\sqrt{y}-\sqrt{x}|=\frac{1}{2L}\geq\frac{1}{4L}=L|y-x|[/mm]
Hier hast du den Fall $y = [mm] \frac{1}{4 L^2}$ [/mm] betrachtet; den Fall $y = b < [mm] \frac{1}{4 L^2}$ [/mm] muss man auch noch anschauen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:29 So 02.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Ja, vielen Dank, das erste Gleichheitszeichen sollte tatsächlich durch einen [mm] \leq [/mm] ersetzt werden, aber das macht zum Glück nicht viel kaputt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:10 So 02.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ja, vielen Dank, das erste Gleichheitszeichen sollte
> tatsächlich durch einen [mm]\leq[/mm] ersetzt werden, aber das
> macht zum Glück nicht viel kaputt.
Leider stimmt das nicht ganz: du bekommst [mm] $|\sqrt{y} [/mm] - [mm] \sqrt{x}| \le [/mm] ... [mm] \ge [/mm] L |y - x|$. Damit kannst du also keine Aussage treffen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Aaach jeee... Okay, dritter Anlauf:
[mm] y:=min\{\frac{1}{4L^2},b\}
[/mm]
[mm] |\sqrt{y}-\sqrt{0}|=\int\limits_0^{y}\frac{1}{2\sqrt{x}}dx\geq\int\limits_0^{y}\frac{1}{2\sqrt{y}}dx\geq\int\limits_0^{y}\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4L^2}}}dx=L\int\limits_0^{y}dx=L|y-0|
[/mm]
Immer noch quark, oder geht's diesmal? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Mo 03.08.2009 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Aaach jeee... Okay, dritter Anlauf:
>
> [mm]y:=min\{\frac{1}{4L^2},b\}[/mm]
>
> [mm]|\sqrt{y}-\sqrt{0}|=\int\limits_0^{y}\frac{1}{2\sqrt{x}}dx\geq\int\limits_0^{y}\frac{1}{2\sqrt{y}}dx\geq\int\limits_0^{y}\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4L^2}}}dx=L\int\limits_0^{y}dx=L|y-0|[/mm]
>
> Immer noch quark, oder geht's diesmal? :)
das sieht gut aus! Und man sieht hier auch gleich wo das Problem liegt: die Ableitung der Funktion ist nicht beschraenkt.
Fuer den Fragesteller: man kann auch ganz allgemein folgendes beweisen:
Sei $I [mm] \subseteq \IR$ [/mm] eine konvexe Teilmenge (also ein Intervall  ) und $f : I [mm] \to \IR$ [/mm] differenzierbar. Dann ist $f$ genau dann Lipschitz-stetig, wenn $f'$ auf $I$ beschraenkt ist. In dem Fall ist die Lipschitzkonstante durch [mm] $\sup_{x \in I} [/mm] |f'(x)|$ gegeben.
Kannst ja mal versuchen zu beweisen. Fuer die eine Richtung braucht man den Mittelwertsatz, fuer die andere nur die Definition mit dem Differenzenquotienten.
LG Felix
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