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| Aufgabe | Sei [mm] n\in \IN, [/mm] G eine zyklische Gruppe der Ordnung n, g [mm] \in [/mm] G ein Erzeuger von G und L ein algebraisch abgeschlossener Körper. Sei [mm] \varepsilon [/mm] eine n-te Einheitswurzel in L.
Für jedes i [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] definiere die Darstellung
[mm] \delta_{i} [/mm] von G über L mit [mm] c(g\delta_{i})=c\varepsilon^{i} [/mm] |
Hallo Leute.
Meine Frage ist, ob für alle i,j [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] mit i<j der LG-Modul [mm] (L;\delta_{i}) [/mm] zum LG-Modul (L; [mm] \delta_{j}) [/mm] nicht Modul-isomorph ist.
Falls j ein Teiler von n ist hab ich dies wie folgt erschlossen:
Angenommen es gäbe einen Modulisomorphismus [mm] \alpha [/mm] von [mm] (L;\delta_{i}) [/mm] auf [mm] (L;\delta_{j}) [/mm] . Dann würde gelten:
[mm] (1g\delta_{i})\alpha [/mm] = [mm] 1\alpha(g\delta_{j}),
[/mm]
also da [mm] \alpha [/mm] ein Homomorphismus ist:
[mm] \varepsilon^{i}\alpha [/mm] = [mm] \varepsilon^{j} [/mm] und aus demselben Grund:
[mm] \varepsilon^{i\bruch{n}{j}}\alpha [/mm] = [mm] \varepsilon^{j\bruch{n}{j}},
[/mm]
also da [mm] \alpha [/mm] injejtiv, muss [mm] \varepsilon^{i\bruch{n}{j}} [/mm] = 1 gelten, was aber ein Widerspruch zur Wahl von i und j ist.
Sind die Moduln auch nicht Modul- isomorph, wenn j und i keine Teiler von n sind? Wär dankbar für jeden Tipp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Sa 10.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Sei [mm]n\in \IN,[/mm] G eine zyklische Gruppe der Ordnung n, g [mm]\in[/mm]
> G ein Erzeuger von G und L ein algebraisch abgeschlossener
> Körper. Sei [mm]\varepsilon[/mm] eine n-te Einheitswurzel in L.
> Für jedes i [mm]\in \{1,...,n\}[/mm] definiere die Darstellung
> [mm]\delta_{i}[/mm] von G über L mit
> [mm]c(g\delta_{i})=c\varepsilon^{i}[/mm]
Mir kommt die Notation komisch vor - für jedes i ist doch [m]\delta_i[/m] eine Darstellung definier durch [m]g\mapst (x\mapsto \varepsilon^i*x)[/m]. Ich verstehe nicht, warum links noch das [m]\delta_i[/m] steht, wenn würde ich am ehesten [mm]c*g=c\varepsilon^{i}[/mm] erwarten.
> Hallo Leute.
> Meine Frage ist, ob für alle i,j [mm]\in \{1,...,n\}[/mm] mit i<j
> der LG-Modul [mm](L;\delta_{i})[/mm] zum LG-Modul (L; [mm]\delta_{j})[/mm]
> nicht Modul-isomorph ist.
Also wenn sie isomporh wären, bruchst du eine Abbildung [m]\phi[/m], die schonmal ein Modul-Hom ist, dh für i, j muss [m]\phi(x*\varepsilon^i)=\phi(x*g)=\pgi(x)*g=\phi(x)*\varpesilon^j[/m] gelten. Also insbesondere [m]\phi(x*\varepsilon^i) / \phi(x) = \varpesilon^j[/m]. Dh aber das mit [m]y=\phi(x)[/m] gilt [m]\phi(x*G)=\{y,\varepsilon*y,\ldots,\varpesilon^{n-1}*y\}[/m]. Wenn ich (für eine Iso) also den Ansatz [m]x\mapsto y[/m], [m]x*\varepsilon^i\mapsto y*\varepsilon^{k}[/m] mache, dann folgt: [m]y*\varepsilon^k=y*\varepsilon^j[/m]. Da y ungleich 0 ist, muss alos [m]k=j[/m] folgen.
Aber das ist imo ein Ansatz - wenn i, j gleiche Ordnungen in [m]\IZ_n[/m] haben oder nicht. Die Idee ist quasi: die WIrkung von G rotiert die Elemente, wenn g auf Einheistwurzeln der gleichen Ordnung abgebildet werden, rotiert es gleichmäßg, dass man es, genau wie die Erzeuger aufeiannder, die Elemente abbilden kann.
> Falls j ein Teiler von n ist hab ich dies wie folgt
> erschlossen:
> Angenommen es gäbe einen Modulisomorphismus [mm]\alpha[/mm] von
> [mm](L;\delta_{i})[/mm] auf [mm](L;\delta_{j})[/mm] . Dann würde gelten:
> [mm](1g\delta_{i})\alpha[/mm] = [mm]1\alpha(g\delta_{j}),[/mm]
Ich verstehe deine Notation ab hier überhaupt nicht! Sorry. Kannst du erklären, was das geschrieben bedeuten soll?
SEcki
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> Also wenn sie isomporh wären, bruchst du eine Abbildung
> [m]\phi[/m], die schonmal ein Modul-Hom ist, dh für i, j muss
> [m]\phi(x*\varepsilon^i)=\phi(x*g)=\pgi(x)*g=\phi(x)*\varpesilon^j[/m]
> gelten. Also insbesondere [m]\phi(x*\varepsilon^i) / \phi(x) = \varpesilon^j[/m].
> Dh aber das mit [m]y=\phi(x)[/m] gilt
> [m]\phi(x*G)=\{y,\varepsilon*y,\ldots,\varpesilon^{n-1}*y\}[/m].
> Wenn ich (für eine Iso) also den Ansatz [m]x\mapsto y[/m],
> [m]x*\varepsilon^i\mapsto y*\varepsilon^{k}[/m] mache, dann folgt:
> [m]y*\varepsilon^k=y*\varepsilon^j[/m]. Da y ungleich 0 ist, muss
> alos [m]k=j[/m] folgen.
Also, die Definition der Darstellung war genau so gemeint, wie du sie angenommen hast. An dieser Stelle steh ich aber irgendwie auf dem Schlauch. Es kann doch auch einen Modul-Isomorphismus geben mit [mm] \varepsilon^{i}\mapsto \varepsilon^{j}, [/mm] oder? Ich sehe da den Widerspruch nicht, zumindest nicht, wenn i und j keine Teiler von n sind.
>
>>
> > Falls j ein Teiler von n ist hab ich dies wie folgt
> > erschlossen:
> > Angenommen es gäbe einen Modulisomorphismus [mm]\alpha[/mm] von
> > [mm](L;\delta_{i})[/mm] auf [mm](L;\delta_{j})[/mm] . Dann würde gelten:
> > [mm](1g\delta_{i})\alpha[/mm] = [mm]1\alpha(g\delta_{j}),[/mm]
>
>Hiermit meinte ich: [mm] \alpha(1\varepsilon^{i}) [/mm] = [mm] \alpha(1)\varepsilon^{j}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mo 12.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also, die Definition der Darstellung war genau so gemeint,
> wie du sie angenommen hast. An dieser Stelle steh ich aber
> irgendwie auf dem Schlauch. Es kann doch auch einen
> Modul-Isomorphismus geben mit [mm]\varepsilon^{i}\mapsto \varepsilon^{j},[/mm]
> oder?
Ja, bestreite ich nicht - folgt vielmehr aus dem, was ich gesagt habe.
> Ich sehe da den Widerspruch nicht, zumindest nicht,
> wenn i und j keine Teiler von n sind.
Ich behaupte ja, dass es genau dann einen Iso gibt wenn [m]ggT(i,n)=ggT(j,n)[/m] gilt.
> >Hiermit meinte ich: [mm]\alpha(1\varepsilon^{i})[/mm] =
> [mm]\alpha(1)\varepsilon^{j}[/mm]
Und [m]\alpha[/m] der Modul-Hom.? Ich weiß immer noch nicht, wie du auf deine Notation gekommen bist. ;)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Do 15.04.2010 | | Autor: | ichbinsnun |
ah so, vielen dank
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