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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - nicht exakte DGL
nicht exakte DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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nicht exakte DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Sa 08.03.2014
Autor: Thomas_Aut

Aufgabe
Bestimmen Sie die Trajektorien von

[mm] $xy^2 [/mm] dx + [mm] (x^{2}y [/mm] -x)dy = 0$



Hallo,

Die DGL will sich nicht lösen lassen..

Die Ansätze

[mm] 1)$M(x)(xy^2)dx [/mm] + [mm] M(x)(x^{2}y-x)dy$ [/mm]
[mm] 2)$M(y)(xy^2)dx [/mm] + [mm] M(y)(x^{2}y-x)dy$ [/mm]
[mm] 3)$M(xy)(xy^2)dx [/mm] + [mm] M(xy)(x^{2}y-x)dy$ [/mm]
[mm] 4)$M(x+y)(xy^2)dx [/mm] + [mm] M(x+y)(x^{2}y-x)dy$ [/mm]

führen auf kein brauchbares Resultat - also entweder verrechne ich mich - oder es benötigt einen anderen Ansatz - oder es gibt keinen integrierenden Faktor.

Für Ansatz $ i [mm] \in [/mm] {1,2,3,4}$ erhalte ich

1) [mm] $\frac{M'(x)}{M(x)} [/mm] = [mm] \frac{2x-2xy+1}{x^2y-x}$ [/mm]
2) [mm] $\frac{M'(y)}{M(y)} [/mm] = [mm] \frac{1}{xy^2}$ [/mm]
3) [mm] $\frac{M'(xy)}{M(xy)} [/mm] = [mm] \frac{1}{x^2y-x-xy^2}$ [/mm]
4) siehe 3

Vielleicht gibt es aber einen Ansatz der zum Ziel führt?

Vielen Dank und beste Grüße

Thomas


Ps: da die Frage bisweilen unbeantwortet ist nutze ich die Gelegenheit und füge noch eine hinzu:

für folgende DGL fehlt mir jeglicher Ansatz:

$x' + [mm] \frac{x^2}{t} [/mm] = 1$

ich glaube, dass es sich irgendwie um einen Angabefehler handelt oder eine DGl von spezieller Form ist ?
(die homogene DGL zu lösen wäre nicht das Problem).

Wäre super wenn ihr Vorschläge hättet :)


        
Bezug
nicht exakte DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:21 Sa 08.03.2014
Autor: MathePower

Hallo Thomas_Aut,

> Bestimmen Sie die Trajektorien von
>
> [mm]xy^2 dx + (x^{2}y -x)dy = 0[/mm]
>  
>
> Hallo,
>  
> Die DGL will sich nicht lösen lassen..
>
> Die Ansätze
>  
> 1)[mm]M(x)(xy^2)dx + M(x)(x^{2}y-x)dy[/mm]
>  2)[mm]M(y)(xy^2)dx + M(y)(x^{2}y-x)dy[/mm]
>  
> 3)[mm]M(xy)(xy^2)dx + M(xy)(x^{2}y-x)dy[/mm]
>  4)[mm]M(x+y)(xy^2)dx + M(x+y)(x^{2}y-x)dy[/mm]
>  
> führen auf kein brauchbares Resultat - also entweder
> verrechne ich mich - oder es benötigt einen anderen Ansatz
> - oder es gibt keinen integrierenden Faktor.
>  
> Für Ansatz [mm]i \in {1,2,3,4}[/mm] erhalte ich
>  
> 1) [mm]\frac{M'(x)}{M(x)} = \frac{2x-2xy+1}{x^2y-x}[/mm]
>  2)
> [mm]\frac{M'(y)}{M(y)} = \frac{1}{xy^2}[/mm]
>  3)
> [mm]\frac{M'(xy)}{M(xy)} = \frac{1}{x^2y-x-xy^2}[/mm]
>  4) siehe 3
>  
> Vielleicht gibt es aber einen Ansatz der zum Ziel führt?
>
> Vielen Dank und beste Grüße
>  
> Thomas
>  
> Ps: da die Frage bisweilen unbeantwortet ist nutze ich die
> Gelegenheit und füge noch eine hinzu:
>  
> für folgende DGL fehlt mir jeglicher Ansatz:
>  
> [mm]x' + \frac{x^2}{t} = 1[/mm]
>
> ich glaube, dass es sich irgendwie um einen Angabefehler
> handelt oder eine DGl von spezieller Form ist ?
>  (die homogene DGL zu lösen wäre nicht das Problem).
>  
> Wäre super wenn ihr Vorschläge hättet :)
>  


Schreibe die obige DGL so um:

[mm]\bruch{dy}{dx}= \ ...[/mm]

Und versuche eine Funktion y(x) zu finden.


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
nicht exakte DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:52 Sa 08.03.2014
Autor: Martinius

Hallo Thomas Aut,

ein integrierender Faktor lautet:  [mm] $I(x,y)\;=\;\frac{1}{x*y}$ [/mm]

mit [mm] $F(x,y)\;=\; x*y-ln|y|\;=\;C$ [/mm]


Irrtum vorbehalten.


LG, Martinius

Bezug
                
Bezug
nicht exakte DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:41 So 09.03.2014
Autor: Thomas_Aut

Hallo MathePower, Hallo Martinius,

Danke für eure Hinweise. Ich sehs mir mal an.


Lg Thomas

Bezug
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