nichtleere Teilm. N kl Element < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 So 17.10.2010 | | Autor: | Wesen |
| Aufgabe | | Beweisen sie mit Hilfe des Axioms der vollständigen Induktion: Jede nicht-leere Teilmenge von [mm] \IN [/mm] hat ein kleinstes Element |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grundsätzlich verstehe ich das Prinzip der Induktion, bei dieser Aufgabe komme ich nur nicht darauf wie ich es nun genau aufschreiben muss um überhaupt erstmal anfangen zu können.
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Hallo Wesen und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Beweisen sie mit Hilfe des Axioms der vollständigen
> Induktion: Jede nicht-leere Teilmenge von [mm]\IN[/mm] hat ein
> kleinstes Element
> Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Grundsätzlich verstehe ich das Prinzip der Induktion, bei
> dieser Aufgabe komme ich nur nicht darauf wie ich es nun
> genau aufschreiben muss um überhaupt erstmal anfangen zu
> können.
Mache Induktion über die Mächtigkeit [mm]n[/mm] der untersuchten Teilmengen
Beginne wie immer mit dem Induktionsanfang:
(IA): [mm]n=1[/mm] Sei [mm]M_1\subset\IN[/mm] mit [mm]|M_1|=1[/mm], also etwa [mm]M=\{\alpha_1\}[/mm]
Dann ist [mm]\alpha_1[/mm] offensichtlich das kleinste Element von [mm]M_1[/mm]
Zeige zusätzlich, dass die Aussage auch für [mm]n=2[/mm] gilt!
Im Induktionsschritt [mm]n\to n+1[/mm] nimm in der (IV) an, dass du eine beliebige Menge [mm]M_n[/mm] gegeben hast mit [mm]|M_n|=n[/mm], die ein kleinstes Element hat.
Nun zeige im eigentlichen Induktionsbeweis, dass eine beliebige Menge [mm]M_{n+1}[/mm] mit [mm]|M_{n+1}|=n+1[/mm], etwa [mm]M_{n+1}=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\alpha_{n+1}\}[/mm], ein kleinstes Element hat.
Bedenke, dass du [mm]M_{n+1}[/mm] schreiben kannst als [mm]\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\} \ \cup \ \{\alpha_{n+1}\}[/mm]
Nun schaue auf die (IV) und den Induktionsanfang, der noch aussteht für [mm]n=2[/mm]
Fülle die kleinen Lücken noch aus!
Gruß
schachuzipus
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