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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x) = x - ln(x)
a) In welchem Punkt hat der Graph den Anstieg m = -e? Gibt es Punkte mit dem Anstieg e?
b) Vorm Ursprung aus soll eine Tangente an einen weiteren Punkt P des Graphen von f gelegt werden. Ermitteln Sie die Koordinaten von P.
c) Ergibt sich aus der Funktion g mit g(x) = x*ln(x)-x die Ableitungsfunktion von h mit h(x) = ln(x)?
d) Der Graph von f schließt mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x=1 und x=e eine Fläche ein. Berechneten Sie den Inhalt dieser Fläche. |
Leider weiß ich nicht so recht, wie ich hier vorgehen soll.
Ich bin für jeden Tipp dankbar.
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Hallo,
> Gegeben ist die Funktion f(x) = x - ln(x)
> a) In welchem Punkt hat der Graph den Anstieg m = -e? Gibt
> es Punkte mit dem Anstieg e?
Leite deine Funktion einmal ab, setze die Ableitung mit dem Wert -e gleich und überlege dir, weshalb diese (gebrochen-rationale!) Ableitung im Definitionsbereich deiner Funktion den Wert e nicht annehmen kann. Dieser zweite Teil ist eine Aufgabe zum Argumentieren, nicht zum Rechnen!
> b) Vorm Ursprung aus soll eine Tangente an einen weiteren
> Punkt P des Graphen von f gelegt werden. Ermitteln Sie die
> Koordinaten von P.
Bilde mit Hilfe der Ableitung aus Teil a) die allg. Tangentengleichung
t: y=f'(u)*(x-u)+f(u),
setze die Koordinaten des Ursprungs ein und löse nach u auf.
> c) Ergibt sich aus der Funktion g mit g(x) = x*ln(x)-x die
> Ableitungsfunktion von h mit h(x) = ln(x)?
Hast du das wörtlich abgetippt? Falls ja, dann ist es unglücklich formuliert. Die gegebene Funktion g ist eine Stammfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion und dass sollst du nachrechnen, indem du g'(x)=h(x) zeigst, und dazu musst du g(x) ableiten.
> d) Der Graph von f schließt mit der x-Achse und den
> Geraden mit den Gleichungen x=1 und x=e eine Fläche ein.
> Berechneten Sie den Inhalt dieser Fläche.
Um eine Stammfunktion von f(x) u finden, verwende die Erkenntnisse aus Aufgabe c).
Gruß, Diophant
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| Aufgabe | | Vom Ursprung aus soll eine Tangente an einen weiteren Punkt P des Graphen von f gelegt werden. Ermitteln Sie die Koordinaten von P. |
Bisher bin ich so weit gekommen: diese Tangente müsste die Gleichung y=mx haben
Für x ist bei mir 0 rausgekommen.
Laut Lösung müsste aber x=e rauskommen. Wo liegt nun der Fehler?
Vielen Dank.
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Hallo,
> Vom Ursprung aus soll eine Tangente an einen weiteren Punkt
> P des Graphen von f gelegt werden. Ermitteln Sie die
> Koordinaten von P.
> Bisher bin ich so weit gekommen: diese Tangente müsste
> die Gleichung y=mx haben
Das ist korrekt, aber eigentlich von vornherein klar. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für x ist bei mir 0 rausgekommen.
Falls du mit x die x-Koordinate von P meinst, so ist das falsch. Das kann schon von daher nicht sein, als x=0 gar nicht im Definitionsbereich dieser Funktion liegt (da ist auch der Aufgabentext auch bei Teilaufgabe b) ziemlich verunglückt, weil da von einem weiteren Punkt P gesprochen wird, was natürlich Unsinn ist, denn P wird der einzige gemeinsame Punkt von Kurve und Tangente sein).
> Laut Lösung müsste aber x=e rauskommen. Wo liegt nun der
> Fehler?
Also alles was recht ist: wenn wir hier Fehler aufzeigen sollen, dann benötigen wir dazu eine Rechnung.
Gruß, Diophant
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