nilpotent+symmetrisch < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Di 05.07.2005 | | Autor: | ankiza |
Gesucht sind symmetrische 2[mm]\times[/mm]2 Matrizen mit Koeffizienten in K,
mit K = [mm]\IC[/mm], K=[mm]\IZ[/mm]/2[mm]\IZ[/mm] und
K=[mm] \IQ[/mm].
Ist es richtig, das z.B. [mm] \begin{pmatrix}
0 & 1+i \\
1+i & 0
\end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix} [/mm]
für K=[mm]\IZ[/mm]/2[mm]\IZ[/mm] nilpotent sind, während es für K=[mm] \IQ[/mm] keine nilpotente symmetrische 2[mm]\times[/mm]2 Matrix gibt, da für [mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
b & c
\end{pmatrix} [/mm] kein Eigenwert = 0 existiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Hi,
du meinst also, dass es keine nilpotente 2x2 Matrix über Q gibt?
Die Nullmatrix wäre z.B. eine. Aber du meintest vielleicht MAtrizen mit möglichst wenig Nullen.
Ok. Es gilt der Satz, dass jede nilpotente Matrix ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist (und damit nur Null als Eigenwert hat!). Was ähnlich heißt weißt Du wahrscheinlich.
Du könntest also beispielsweise hingehen und eine obere Dreiecksmatrix hinschreiben und dir eine invertierbare Matrix ausdenken und links bzw rechts diese Matrix bzw ihr Inverses dranmultiplizieren und schon hast Du eine nilpotente Matrix!
Viel Spaß!
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