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| Aufgabe | | Sei G endlich und nilpotent und jeder abelsche Quotient ist zyklisch, so ist G zyklisch. |
Hallo.
ich weiß gar nicht richtig, wie ich anfangen soll. Ich versuche mal meine Gedanken aufzuschreiben.
G nilpotent [mm] \rightarrow [/mm] G besitzt zu jeder Primzahl p, die die Gruppenordnung teilt, genau eine p-Sylow-UG. Das heißt, diese p-Sylow-UG sind Normalteiler und G ist das direkte Produkt dieser. Also G = [mm] U_{p_1} \otimes [/mm] ... [mm] \otimes U_{p_n}. [/mm] So, wenn ich einen Normalteiler rausteile, bekomme ich ja eine Faktorgruppe. Das sind doch die gemeinten Quotienten? Und ich hab gelesen, dass diese genau dann abelsch sind, wenn die Kommutatorgruppe von G im Normalteiler liegt. Ab hier weiß ich nicht weiter, geschweigedenn, ob das überhaupt der richtige Denkansatz ist. Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Mi 08.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei G endlich und nilpotent und jeder abelsche Quotient ist
> zyklisch, so ist G zyklisch.
>
> ich weiß gar nicht richtig, wie ich anfangen soll. Ich
> versuche mal meine Gedanken aufzuschreiben.
> G nilpotent [mm]\rightarrow[/mm] G besitzt zu jeder Primzahl p,
> die die Gruppenordnung teilt, genau eine p-Sylow-UG. Das
> heißt, diese p-Sylow-UG sind Normalteiler und G ist das
> direkte Produkt dieser. Also G = [mm]U_{p_1} \otimes[/mm] ...
> [mm]\otimes U_{p_n}.[/mm] So, wenn ich einen Normalteiler
> rausteile, bekomme ich ja eine Faktorgruppe. Das sind doch
> die gemeinten Quotienten?
Ja.
> Und ich hab gelesen, dass diese
> genau dann abelsch sind, wenn die Kommutatorgruppe von G im
> Normalteiler liegt. Ab hier weiß ich nicht weiter,
> geschweigedenn, ob das überhaupt der richtige Denkansatz
> ist. Kann mir jemand helfen?
Also. Sei $K(G)$ die Kommutatoruntergruppe von $G$. Dann ist jede Untergruppe $K(G) [mm] \subseteq [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] G$ ein Normalteiler in $G$ (da $G [mm] \to [/mm] G/K(G)$ eine Bijektion zwischen den Normalteilern in $G$, die $K(G)$ enthalten, und denen in der abelschen Gruppe $G/K(G)$ herstellt), und fuer jede solche Untergruppe ist $G/U$ zyklisch. D.h. insbesondere, dass es ein $x [mm] \in [/mm] G$ gibt mit [mm] $\langle [/mm] x, K(G) [mm] \rangle [/mm] = G$.
Jetzt ist [mm] $K(G_1 \times G_2) [/mm] = [mm] K(G_1) \times K(G_2)$, [/mm] und [mm] $G_1 \times G_2$ [/mm] ist genau dann zyklisch, wenn [mm] $G_1$ [/mm] und [mm] $G_2$ [/mm] zyklisch von teilerfremder Ordnung sind. Daraus folgt: die Aussage gilt genau dann fuer $G$, wenn sie fuer alle [mm] $U_{p_i}$ [/mm] gilt, $i = 1, [mm] \dots, [/mm] n$. Es reicht also aus, die Aussage fuer $|G| = [mm] p^n$ [/mm] zu zeigen mit einer Primzahl $p$.
Du hast also eine endliche $p$-Gruppe $G$ und ein Element $x [mm] \in [/mm] G$ mit $G = [mm] \langle [/mm] x, K(G) [mm] \rangle$, [/mm] und du musst zeigen dass $G$ zyklisch ist. Das ist hier uebrigens dazu aequivalent, dass $K(G) = [mm] \{ e \}$ [/mm] ist: dann ist ja $G = [mm] \langle [/mm] x [mm] \rangle$.
[/mm]
Kommst du damit evtl. weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:59 Do 09.06.2011 | | Autor: | wimalein |
Hallo,
vielen vielen Dank für deine schnelle Antwort. Sie hilft mir zum Verstehen der Zusammenhänge gut weiter, aber einige kleine Folgerungen sind mir noch schleiherhaft!
> fuer jede
> solche Untergruppe ist [mm]G/U[/mm] zyklisch. D.h. insbesondere,
> dass es ein [mm]x \in G[/mm] gibt mit [mm]\langle x, K(G) \rangle = G[/mm].
Diese Folgerung, warum G von K(G) und einem weiteren Element x aus G erzeugt wird, verstehe ich nicht ganz. Für abelsche G ist K(G) = {e} und daraus folgt G = <x>. Aber G muss ja nicht zwingend abelsch sein!
> Du hast also eine endliche [mm]p[/mm]-Gruppe [mm]G[/mm] und ein Element [mm]x \in G[/mm]
> mit [mm]G = \langle x, K(G) \rangle[/mm], und du musst zeigen dass [mm]G[/mm]
> zyklisch ist. Das ist hier uebrigens dazu aequivalent, dass
> [mm]K(G) = \{ e \}[/mm] ist: dann ist ja [mm]G = \langle x \rangle[/mm].
Ja, wie gesagt ist K(G)={e} wenn alle Elemente in G kommutieren, G also abelsch ist? Und ich soll jetzt zeigen, dass jede endliche p-Gruppe deren abelsche Faktoren zyklisch sind, abelsch ist? hab ich das richtig verstanden?
ich versuche das auch selber nochmal zu überdenken und mir noch mal die zusammenhänge zwischen p-gruppe und abelsch anzusehen!
Aber wirklich vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Do 09.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > fuer jede
> > solche Untergruppe ist [mm]G/U[/mm] zyklisch. D.h. insbesondere,
> > dass es ein [mm]x \in G[/mm] gibt mit [mm]\langle x, K(G) \rangle = G[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
>
> Diese Folgerung, warum G von K(G) und einem weiteren
> Element x aus G erzeugt wird, verstehe ich nicht ganz. Für
> abelsche G ist K(G) = {e} und daraus folgt G = <x>. Aber G
> muss ja nicht zwingend abelsch sein!
Nun, $G / K(G)$ ist ein abelscher Quotient, womit es zyklisch ist. Also gibt es eine Nebenklasse $x K(G)$ mit $\langle x K(G) \rangle = G / K(G)$. Damit ist $G / K(G) = \{ x^n K(G) \mid n \in \IZ$, und da $G$ die Vereinigung aller Nebenklassen von $K(G)$, also aller Elemente in $G / K(G)$, ist, folgt $G = \bigcup_{n\in\IZ} x^n K(G)$. Nun ist $x^n K(G)$ fuer jedes $n$ eine Teilmenge von $\langle x, K(G) \rangle \subseteq G$, womit schliesslich $G = \langle x, K(G) \rangle$ folgt.
> > Du hast also eine endliche [mm]p[/mm]-Gruppe [mm]G[/mm] und ein Element [mm]x \in G[/mm]
> > mit [mm]G = \langle x, K(G) \rangle[/mm], und du musst zeigen dass [mm]G[/mm]
> > zyklisch ist. Das ist hier uebrigens dazu aequivalent, dass
> > [mm]K(G) = \{ e \}[/mm] ist: dann ist ja [mm]G = \langle x \rangle[/mm].
>
> Ja, wie gesagt ist K(G)={e} wenn alle Elemente in G
> kommutieren, G also abelsch ist? Und ich soll jetzt zeigen,
> dass jede endliche p-Gruppe deren abelsche Faktoren
> zyklisch sind, abelsch ist? hab ich das richtig
> verstanden?
Genau.
> ich versuche das auch selber nochmal zu überdenken und mir
> noch mal die zusammenhänge zwischen p-gruppe und abelsch
> anzusehen!
Viel Erfolg!
Es kann natuerlich auch sein, dass diese Reduktion auf $p$-Gruppen nichts vereinfacht. Aber was besseres ist mir spontan erstmal nicht eingefallen... Vielleicht kann man irgendwie Induktion nach $n$ machen, wenn $|G| = [mm] p^n$ [/mm] ist?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 10.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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