nilpotente exp(A) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Mo 11.07.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | | Ist [mm] A\in [/mm] Mat(n,C) nilpotent, so ist auch exp(A)nilpotent |
Diesen Satz soll ich beweisen oder widerlegen.
Wenn A nilpotent ist, heißt dass ja, dass [mm] A^x=0. [/mm] Das exp einer Matrix ist immer eine Reihenentwicklung. Wenn A nilpotent ist, heißt dass das die REihe nach einem bestimmten Wert auch abbricht oder....
Reicht das shcon als Beweis??
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Hallo sissenge,
> Ist [mm]A\in[/mm] Mat(n,C) nilpotent, so ist auch exp(A)nilpotent
> Diesen Satz soll ich beweisen oder widerlegen.
> Wenn A nilpotent ist, heißt dass ja, dass [mm]A^x=0.[/mm] Das exp
> einer Matrix ist immer eine Reihenentwicklung. Wenn A
> nilpotent ist, heißt dass das die REihe nach einem
> bestimmten Wert auch abbricht oder....
Ja, wenn [mm] $A^n=0$ [/mm] für ein [mm] $n\in\IN$, [/mm] so ist [mm] $\exp(A)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot{}A^k=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}\cdot{}A^k$ [/mm] eine endliche Summe
>
> Reicht das shcon als Beweis??
Dass [mm] $\exp(A)$ [/mm] nilpotent ist?
Nein, wieso sollte das gelten? Wieso sollte die Summe die Nullmatrix ergeben?
Suche mal ein ganz einfaches Gegenbsp. - die einfachste nilpotente Matrix ist [mm] $A=\ldots$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Mo 11.07.2011 | | Autor: | sissenge |
Die einfachste nilpotente Matrix ist [mm] \pmat{0&1\\0&0}
[/mm]
Wenn ich jetzt aber exp(A) berechnen will, ist das charakteristische Polynom =0.....oder kann man auch ander exp(A) berechnen?
VIelleicht über die Reihenentwicklung? Aber da weiß ich wieder nicht, was N und D sind
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Hallo nochmal,
> Die einfachste nilpotente Matrix ist [mm]\pmat{0&1\\
0&0}[/mm]
Ich dachte eigentlich an die Nullmatrix, aber ok, deine geht natürlich auch.
Es ist [mm] $A^2=\pmat{0&1\\0&0}^2=\pmat{0&0\\0&0}$
[/mm]
Also [mm] $e^{A}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot{}A^k=\mathbb{E}_2+\frac{1}{2}A+0+0+\ldots$ [/mm] da alle höheren Potenzen von $A$ die Nullmatrix liefern
[mm] $=\pmat{1&0\\0&1}+\pmat{0&1/2\\0&0}=\pmat{1&1/2\\0&1}$
[/mm]
Wie sieht denn nun [mm] $\left[e^{A}\right]^n$ [/mm] aus für [mm] $n\in\IN$ [/mm] ?
Wenn du's nicht auf Anhieb weißt. rechne die ersten 3 Potenzen aus, dann erkennst du ein Schema!
>
> Wenn ich jetzt aber exp(A) berechnen will, ist das
> charakteristische Polynom =0.....oder kann man auch ander
> exp(A) berechnen?
>
> VIelleicht über die Reihenentwicklung? Aber da weiß ich
> wieder nicht, was N und D sind
Brauchst du nicht, einfach geradeheraus ausrechnen ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mo 11.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ist [mm]A\in[/mm] Mat(n,C) nilpotent, so ist auch exp(A)nilpotent
> Diesen Satz soll ich beweisen oder widerlegen.
> Wenn A nilpotent ist, heißt dass ja, dass [mm]A^x=0.[/mm] Das exp
> einer Matrix ist immer eine Reihenentwicklung. Wenn A
> nilpotent ist, heißt dass das die REihe nach einem
> bestimmten Wert auch abbricht oder....
>
> Reicht das shcon als Beweis??
Ergänzend:
Allgemein gilt:
ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so ist [mm] e^{\lambda} [/mm] ein Eigenwert von [mm] e^A.
[/mm]
Ist also A nilpotent, so hat A nur den Eigenwert 0. Dann hat [mm] e^A [/mm] nur den Eigenwert 1.
Fazit: für jede nilpotente Matrix A ist [mm] e^A [/mm] nicht nilpotent !!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Mo 11.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Ist [mm]A\in[/mm] Mat(n,C) nilpotent, so ist auch exp(A)nilpotent
> > Diesen Satz soll ich beweisen oder widerlegen.
> > Wenn A nilpotent ist, heißt dass ja, dass [mm]A^x=0.[/mm] Das
> exp
> > einer Matrix ist immer eine Reihenentwicklung. Wenn A
> > nilpotent ist, heißt dass das die REihe nach einem
> > bestimmten Wert auch abbricht oder....
> >
> > Reicht das shcon als Beweis??
>
> Ergänzend:
>
> Allgemein gilt:
>
> ist [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von A, so ist [mm]e^{\lambda}[/mm] ein
> Eigenwert von [mm]e^A.[/mm]
>
> Ist also A nilpotent, so hat A nur den Eigenwert 0. Dann
> hat [mm]e^A[/mm] nur den Eigenwert 1.
>
> Fazit: für jede nilpotente Matrix A ist [mm]e^A[/mm] nicht
> nilpotent !!
>
> FRED
>
Noch einfacher:
Wäre [mm] e^A [/mm] nilpotent, so gäbe es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit : [mm] $0=(e^A)^n= e^{nA}$
[/mm]
Dann würde folgen :
$E= [mm] e^0= e^{nA-nA}= e^{nA}* e^{-nA}=0$
[/mm]
(E ist die Einheitsmatrix).
Widerspruch.
FRED
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