nilpotenter Endomorphismus < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:33 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Richler |
| Aufgabe | Sei V ein K- Vektorraum mit n:= dim(V) [mm] \in \IN. [/mm] Weiter sei f [mm] \in [/mm] L(V,V) nilpotent vom Grad m und [mm] P_{f} [/mm] zerfalle in Linearfaktoren. Zeigen Sie:
1) [mm] P_{f} [/mm] = [mm] t^{n}
[/mm]
2) [mm] M_{f} [/mm] = [mm] t^{m}
[/mm]
3) Es existiert ein Vektor v [mm] \in [/mm] V vom Grad m bezüglich f.
4) Für jedes [mm] \lambda \in [/mm] K gilt [mm] M_{f - \lambda id} [/mm] = (t+ [mm] \lambda)^{m}. [/mm] |
Guten Morgen, also
1) [mm] P_{f} [/mm] := det(t [mm] I_{n} [/mm] - [mm] [f]_{B,B} [/mm] ) [mm] \in [/mm] K[t]
B:= Basis von V
Wir wissen, dass es eine Basis von V gibt, so dass [mm] [f]_{B,B} [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist.
Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Nilpotent bedeutet [mm] f^{m}(t) [/mm] = 0 :
f(t) = [mm] \lambda [/mm] t [mm] \Rightarrow f^{2}(t) [/mm] = [mm] \lambda^{2} [/mm] t [mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow f^{m}(t) [/mm] = [mm] \lambda^{m} [/mm] t [mm] \Rightarrow [/mm] 0 = [mm] \lambda^{m} [/mm] t [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = 0
[mm] \lambda [/mm] ist in dem Zusammenhang der Eigenwert und t der Eigenvektor. Somit hat ein nilpotenter Endomorphismus immer den einzigen Eigenwert 0. Dadurch, dass [mm] [f]_{B,B} [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist (wissen wir) und der einzige Eigenwert 0 ist, steht 0 auf der Hauptdiagonalen von [mm] [f]_{B,B} [/mm] , weil wir wissen,dass man bei einer Dreiecksmatrix die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen ablesen kann.
[mm] P_{f} [/mm] = det(t [mm] I_{n} [/mm] - [mm] [f]_{B,B}
[/mm]
= [mm] t^{n}
[/mm]
2) Wir wissen, dass [mm] M_{f} [/mm] | [mm] P_{f} [/mm] . Also muss [mm] P_{f} [/mm] schonmal aus dem Monom t bestehen. Wieso aber [mm] t^{m} [/mm] ? m muss minimal sein und f( [mm] t^{m}) [/mm] = 0 , da [mm] M_{f} [/mm] ja f annuliert. Wie komme ich nun also auf das m?
3) Hier habe ich keine Ahnung. Bedeutet das, dass der Vektor aus m Einträgen besteht? Und was heißt bezüglich? Wie kann sich ein Vektor auf einen Endomorphismus beziehen? Könnte mir bitte jemand einen Ansatz geben?
4) Hierfür bräuchte ich auch eine Idee. Ich hab leider keine Ahnung, wie ich das zeigen kann. Vielleicht mit der Jordan - Normalform, aber wie?
Danke schonmal für die Hilfe im Voraus =)
lg Richler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Mi 03.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein K- Vektorraum mit n:= dim(V) [mm]\in \IN.[/mm] Weiter sei
> f [mm]\in[/mm] L(V,V) nilpotent vom Grad m und [mm]P_{f}[/mm] zerfalle in
> Linearfaktoren. Zeigen Sie:
>
> 1) [mm]P_{f}[/mm] = [mm]t^{n}[/mm]
>
> 2) [mm]M_{f}[/mm] = [mm]t^{m}[/mm]
>
> 3) Es existiert ein Vektor v [mm]\in[/mm] V vom Grad m bezüglich
> f.
>
> 4) Für jedes [mm]\lambda \in[/mm] K gilt [mm]M_{f - \lambda id}[/mm] = (t+
> [mm]\lambda)^{m}.[/mm]
>
> Guten Morgen, also
>
> 1) [mm]P_{f}[/mm] := det(t [mm]I_{n}[/mm] - [mm][f]_{B,B}[/mm] ) [mm]\in[/mm] K[t]
>
> B:= Basis von V
>
> Wir wissen, dass es eine Basis von V gibt, so dass [mm][f]_{B,B}[/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist.
>
> Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Nilpotent bedeutet [mm]f^{m}(t)[/mm] = 0 :
>
> f(t) = [mm]\lambda[/mm] t [mm]\Rightarrow f^{2}(t)[/mm] = [mm]\lambda^{2}[/mm] t [mm]\Rightarrow[/mm] ... [mm]\Rightarrow f^{m}(t)[/mm] = [mm]\lambda^{m}[/mm] t [mm]\Rightarrow[/mm] 0 = [mm]\lambda^{m}[/mm] t [mm]\Rightarrow \lambda[/mm] = 0
>
> [mm]\lambda[/mm] ist in dem Zusammenhang der Eigenwert und t der Eigenvektor. Somit hat ein nilpotenter Endomorphismus immer den einzigen Eigenwert 0. Dadurch, dass [mm][f]_{B,B}[/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist (wissen wir) und der einzige Eigenwert 0 ist, steht 0 auf der Hauptdiagonalen von [mm][f]_{B,B}[/mm] , weil wir wissen,dass man bei einer Dreiecksmatrix die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen ablesen kann.
>
> [mm]P_{f}[/mm] = det(t [mm]I_{n}[/mm] - [mm][f]_{B,B}[/mm]
> = [mm]t^{n}[/mm]
Das ist O.K.
>
> 2) Wir wissen, dass [mm]M_{f}[/mm] | [mm]P_{f}[/mm] . Also muss [mm]P_{f}[/mm] schonmal aus dem Monom t bestehen.
Du meinst sicher [mm]M_{f}[/mm]
> Wieso aber [mm]t^{m}[/mm] ? m muss minimal sein und
f( [mm]t^{m})[/mm] = 0 ,
nein, sondern [mm]M_{f}(f)=0[/mm]
> da [mm]M_{f}[/mm] ja f annuliert. Wie komme ich nun also auf das m?
Es ist doch [mm] f^m=0 [/mm] und [mm] f^{m-1} \ne [/mm] 0.
>
> 3) Hier habe ich keine Ahnung. Bedeutet das, dass der Vektor aus m Einträgen besteht? Und was heißt bezüglich? Wie kann sich ein Vektor auf einen Endomorphismus beziehen? Könnte mir bitte jemand einen Ansatz geben?
Zeigen sollst Du: es ex. ein v [mm] \in [/mm] V mit v [mm] \ne [/mm] 0 und
v, [mm] f(v),...,f^{m-1}(v)
[/mm]
sind linear unabhängig.
>
> 4) Hierfür bräuchte ich auch eine Idee. Ich hab leider keine Ahnung, wie ich das zeigen kann. Vielleicht mit der Jordan - Normalform, aber wie?
Wir setzen $g:= [mm] f-\lambda* [/mm] id$
zeigen solls Du:
( [mm] g+\lambda* id)^m=0 [/mm] und ( [mm] g+\lambda* id)^{m-1} \ne [/mm] 0
FRED
>
> Danke schonmal für die Hilfe im Voraus =)
>
> lg Richler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Richler |
Hallo =) , danke für deine Hilfe. Trotzdem habe ich noch ein paar Fragen:
Du meinst sicher [mm]M_{f}[/mm] Natürlich meine ich bei 2) [mm] M_{f} [/mm] ;)
> Wieso aber [mm]t^{m}[/mm] ? m muss minimal sein und
f( [mm]t^{m})[/mm] = 0 ,
nein, sondern [mm]M_{f}(f)=0[/mm]
> da [mm]M_{f}[/mm] ja f annuliert. Wie komme ich nun also auf das m?
Es ist doch [mm] f^m=0 [/mm] und [mm] f^{m-1} \ne [/mm] 0.
Die 2) ist somit klar, danke =)
>
> 3) Hier habe ich keine Ahnung. Bedeutet das, dass der Vektor aus m Einträgen besteht? Und was heißt bezüglich? Wie kann sich ein Vektor auf einen Endomorphismus beziehen? Könnte mir bitte jemand einen Ansatz geben?
Zeigen sollst Du: es ex. ein v [mm] \in [/mm] V mit v [mm] \ne [/mm] 0 und
v, [mm] f(v),...,f^{m-1}(v) [/mm]
sind linear unabhängig.
Also wir müssen zeigen, dass es ein v [mm] \in [/mm] V mit v [mm] \ne [/mm] 0 gibt und v, [mm] f(v),...,f^{m-1}(v) [/mm] linear unabhängig sind. Wieso ist das äquivalent zur eigentlichen Aufgabe?
Sei [mm] \summe_{i=0}^{m-1} \lambda_{i} [/mm] * [mm] f^{i} [/mm] (v) = 0 . Angenommen es gibt mindestens ein [mm] \lambda_{k} \ne [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] i < k. Es gilt k [mm] \in [/mm] {0, ... , m-2}. Damit lässt sich die obige Gleichung umformen zu [mm] \lambda_{k} [/mm] * [mm] f^{k} [/mm] (v) = - [mm] \summe_{i=k+1}^{m-1} \lambda_{i} [/mm] * [mm] f^{i} [/mm] (v). Wenn man hierauf [mm] f^{m-1-k} [/mm] anwendet, erhält man: [mm] \lambda_{k} [/mm] * [mm] f^{m-1} [/mm] (v) = - [mm] \summe_{i= k+1}^{m-1} \lambda_{i} [/mm] * [mm] f^{m+i-(k+1)} [/mm] (v).
So nun muss ja die rechte Seite 0 sein, damit nur noch da steht: [mm] \lambda_{k} [/mm] * [mm] f^{m-1} [/mm] (v) = 0 und da [mm] f^{m-1} \not= [/mm] 0 , ist [mm] \lambda_{k} [/mm] gleich 0 und im Widerspruch zur Annahme. Nur wieso ist die rechte Seite gleich 0? Schließlich haben wir gesagt [mm] \lambda_{i} [/mm] = 0 , für i <k und das betrachten wir ja gar nicht, da hierfür ja die Behauptung gilt. Wie betrachten doch [mm] \lambda_{i}, [/mm] für i > k ,also wieso gilt hier = 0 ?
>
> 4) Hierfür bräuchte ich auch eine Idee. Ich hab leider keine Ahnung, wie ich das zeigen kann. Vielleicht mit der Jordan - Normalform, aber wie?
Wir setzen $g:= [mm] f-\lambda* [/mm] id$
zeigen solls Du:
( [mm] g+\lambda* id)^m=0 [/mm] und ( [mm] g+\lambda* id)^{m-1} \ne [/mm] 0
Auch hier verstehe ich nicht, wieso dies äquivalent zur eigentlichen Aufgabe ist? Jedoch müsste das zu zeigen doch relativ leicht sein. Einfach g einsetzen:
( [mm] g+\lambda* id)^m [/mm] = ( [mm] f-\lambda* [/mm] id [mm] +\lambda* id)^m [/mm] = [mm] f^{m} [/mm] = 0
( [mm] g+\lambda* id)^{m-1} [/mm] = ( [mm] f-\lambda* [/mm] id [mm] +\lambda* id)^{m-1}= f^{m-1} \not= [/mm] 0
FRED
Danke =) Richler
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Richler |
Kann mir keiner mehr meine Fragen beantworten? =(
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Hallo
> Hallo =) , danke für deine Hilfe. Trotzdem habe ich noch
> ein paar Fragen:
>
>
>
> Du meinst sicher [mm]M_{f}[/mm] Natürlich meine ich bei 2) [mm]M_{f}[/mm]
> ;)
>
>
> > Wieso aber [mm]t^{m}[/mm] ? m muss minimal sein und
>
>
>
> f( [mm]t^{m})[/mm] = 0 ,
>
> nein, sondern [mm]M_{f}(f)=0[/mm]
>
>
> > da [mm]M_{f}[/mm] ja f annuliert. Wie komme ich nun also auf das m?
>
> Es ist doch [mm]f^m=0[/mm] und [mm]f^{m-1} \ne[/mm] 0.
>
>
> Die 2) ist somit klar, danke =)
>
>
> >
> > 3) Hier habe ich keine Ahnung. Bedeutet das, dass der
> Vektor aus m Einträgen besteht? Und was heißt bezüglich?
> Wie kann sich ein Vektor auf einen Endomorphismus beziehen?
> Könnte mir bitte jemand einen Ansatz geben?
>
> Zeigen sollst Du: es ex. ein v [mm]\in[/mm] V mit v [mm]\ne[/mm] 0 und
>
> v, [mm]f(v),...,f^{m-1}(v)[/mm]
>
> sind linear unabhängig.
>
> Also wir müssen zeigen, dass es ein v [mm]\in[/mm] V mit v [mm]\ne[/mm] 0
> gibt und v, [mm]f(v),...,f^{m-1}(v)[/mm] linear unabhängig sind.
> Wieso ist das äquivalent zur eigentlichen Aufgabe?
>
> Sei [mm]\summe_{i=0}^{m-1} \lambda_{i}[/mm] * [mm]f^{i}[/mm] (v) = 0 .
> Angenommen es gibt mindestens ein [mm]\lambda_{k} \ne[/mm] 0 [mm]\forall[/mm]
> i < k. Es gilt k [mm]\in[/mm] {0, ... , m-2}. Damit lässt sich die
> obige Gleichung umformen zu [mm]\lambda_{k}[/mm] * [mm]f^{k}[/mm] (v) = -
> [mm]\summe_{i=k+1}^{m-1} \lambda_{i}[/mm] * [mm]f^{i}[/mm] (v). Wenn man
> hierauf [mm]f^{m-1-k}[/mm] anwendet, erhält man: [mm]\lambda_{k}[/mm] *
> [mm]f^{m-1}[/mm] (v) = - [mm]\summe_{i= k+1}^{m-1} \lambda_{i}[/mm]
> * [mm]f^{m+i-(k+1)}[/mm] (v).
>
> So nun muss ja die rechte Seite 0 sein, damit nur noch da
> steht: [mm]\lambda_{k}[/mm] * [mm]f^{m-1}[/mm] (v) = 0 und da [mm]f^{m-1} \not=[/mm]
> 0 , ist [mm]\lambda_{k}[/mm] gleich 0 und im Widerspruch zur
> Annahme. Nur wieso ist die rechte Seite gleich 0?
> Schließlich haben wir gesagt [mm]\lambda_{i}[/mm] = 0 , für i <k
> und das betrachten wir ja gar nicht, da hierfür ja die
> Behauptung gilt. Wie betrachten doch [mm]\lambda_{i},[/mm] für i >
> k ,also wieso gilt hier = 0 ?
Das ist nicht richtig. Was zu zeigst ist, dass für jedes $v$ die Vektoren [mm] $f^{i}\left(v\right)$ [/mm] für [mm] $i=1,\hdots,m-1$ [/mm] linear unabhängig sind. Du sollst die Existenz eines Vektors $v$ zeigen, sodass [mm] $f^{i}\left(v\right)$ [/mm] für [mm] $i=1,\hdots,m-1$ [/mm] für diesen festen Vektor $v$ linear unabhängig sind. Um das zu tun, nimm mal an, dass so ein Vektor $v$ nicht existiert. Das bedeutet dann ja dass die Vektoren [mm] $f^{i}\left(v\right)$ [/mm] für [mm] $i=1,\hdots,m-1$ [/mm] und für jedes $v$ linear abhängig sind. Schreib mal auf was das bedeutet und warum das ein Widerspruch ist zum zweiten Teil der Aufgabe ist.
> >
> > 4) Hierfür bräuchte ich auch eine Idee. Ich hab leider
> keine Ahnung, wie ich das zeigen kann. Vielleicht mit der
> Jordan - Normalform, aber wie?
>
> Wir setzen [mm]g:= f-\lambda* id[/mm]
>
> zeigen solls Du:
>
> ( [mm]g+\lambda* id)^m=0[/mm] und ( [mm]g+\lambda* id)^{m-1} \ne[/mm] 0
>
> Auch hier verstehe ich nicht, wieso dies äquivalent zur
> eigentlichen Aufgabe ist? Jedoch müsste das zu zeigen doch
> relativ leicht sein. Einfach g einsetzen:
>
> ( [mm]g+\lambda* id)^m[/mm] = ( [mm]f-\lambda*[/mm] id [mm]+\lambda* id)^m[/mm] =
> [mm]f^{m}[/mm] = 0
>
> ( [mm]g+\lambda* id)^{m-1}[/mm] = ( [mm]f-\lambda*[/mm] id [mm]+\lambda* id)^{m-1}= f^{m-1} \not=[/mm]
> 0
das ist richtig so
>
> FRED
>
> Danke =) Richler
Viele Grüße
Blasco
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