nochmal Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Fr 26.10.2007 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | Man zeige:
[mm] \summe_{k=1}^{n}{n \choose k} =2^n [/mm] für [mm] n\in [/mm] N |
Hallo!
Hier scheiter ich schon am Induktionsanfang, ich glaube ich setze da falsch ein.
Induktionsanfang: n=1
[mm] \summe_{k=1}^{1}{1 \choose 1} =2^1
[/mm]
=> 1=2
Und das stimmt doch schon nicht.
[mm] \summe_{k=1}^{2}{2 \choose 1} =2^2
[/mm]
also 1 über eins plus 2 über eins=4
und dann kommt raus 3=4 ist also auch falsch
(An dieser Stelle mache ich irgendwas bei der Formatierung nicht richtig, daher hab ichs mal ausgeschrieben.
Stimmt also auch nicht, was mach ich denn da falsch?
Danke schon mal im Voraus.
Lg ONeill
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Fr 26.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo ONeill!
So wie die Aussage da steht, ist sie falsch, die Summe muss bei k=0 anfangen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Fr 26.10.2007 | | Autor: | ONeill |
> Hallo ONeill!
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> So wie die Aussage da steht, ist sie falsch, die Summe muss
> bei k=0 anfangen.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Hallo Rainer, du hast vollkommen recht, das ist ein Schreibfehler von mir. Dennoch bekomme ich beim Induktionsanfang bei 0 ein falsches Ergebnis raus...
Könntest du das vielleicht ein, zwei mal einsetzen, damit ich weiß wo mein Fehler liegt? Den Rest der Induktion bekomm ich dann allein hin, hoff ich. Danke!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Fr 26.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo ONeill!
Induktionsanfang ([mm]n=0[/mm])
[mm]\summe_{k=0}^0 {0 \choose k} = {0\choose0} = \bruch{0!}{0!\cdot0!} = 1 = 2^0[/mm],
denn [mm]0!=1[/mm], oder auch ganz allgemein: [mm]{k\choose k}=1[/mm].
Oder mit [mm]n=1[/mm]:
[mm]\summe_{k=0}^1 {1 \choose k} = {1\choose0} + {1\choose1}= 1+1 = 2 = 2^1[/mm],
denn [mm]{n\choose0} =1[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Fr 26.10.2007 | | Autor: | ONeill |
Vielen Dank Rainer nun hab ichs endlich verstanden wei eingesetzt wird.
Schönen Abend noch!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Fr 26.10.2007 | | Autor: | ONeill |
So jetzt muss ich leider doch noch mal nachfragen. Bin grade beim Induktionsschritt n=>n+1
Dann fang ich auf der linken Seite an:
[mm] \sum_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} =\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix}n+1 \\ n+1 \end{pmatrix}
[/mm]
Und dann kann ich das so verkürzen: [mm] 2^n [/mm] + 1
Auf der rechten Seite habe ich: [mm] 2^{n+1}=2^n*2
[/mm]
Wenn ich das vergleiche also
[mm] 2^n [/mm] + [mm] 1=2^n*2
[/mm]
Und weiter komme ich nicht, vielleicht hat jemand noch nen Tipp?
Danke!
Lg ONeill
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> So jetzt muss ich leider doch noch mal nachfragen. Bin
> grade beim Induktionsschritt n=>n+1
> Dann fang ich auf der linken Seite an:
> [mm]\sum_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} =\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}[/mm] + [mm] \begin{pmatrix}n+1 \\ n+1 \end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
das stimmt nicht.
Gelegentlich ist es nützlich, sich die Summe mal auszuschreiben, man versteht dann besser, was man tut.
Schau
> [mm] \sum_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} [/mm]
[mm] =\vektor{n+1 \\ 0}+\vektor{n+1 \\ 1}+\vektor{n+1 \\ 2}+...+\vektor{n+1 \\ n-1}+\vektor{n+1 \\ n}+\vektor{n+1 \\ n+1}
[/mm]
[mm] =\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} +\vektor{n+1 \\ n+1}
[/mm]
und nun kannst Du weitergrübeln.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Fr 26.10.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo Angela!>
> das stimmt nicht.
>
> Gelegentlich ist es nützlich, sich die Summe mal
> auszuschreiben, man versteht dann besser, was man tut.
>
> Schau
>
> > [mm]\sum_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{n+1 \\ 0}+\vektor{n+1 \\ 1}+\vektor{n+1 \\ 2}+...+\vektor{n+1 \\ n-1}+\vektor{n+1 \\ n}+\vektor{n+1 \\ n+1}[/mm]
>
> [mm]=\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} +\vektor{n+1 \\ n+1}[/mm]
>
> und nun kannst Du weitergrübeln.
Mhh ja da bin ich grad schon bei. Bei vergangenen Aufgabe war es immer so, dass ich an diesem Punkt nun aus der Ausgangsgleichung einsetzen könnte. Diese Möglichkeit sehe ich hier aber nicht. Habe verstanden wo mein Fehler lag, aber den richtigen Lösungsweg finde ich immer noch nicht, kannst du mir noch mal auf die Sprünge helfen? Danke!
Lg ONeill
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Hallo ONeill,
> > [mm]=\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} +\vektor{n+1 \\ n+1}[/mm]
>
> >
> > und nun kannst Du weitergrübeln.
> kannst du mir noch mal auf die Sprünge helfen? Danke!
Zum krönenden Abschluß verwendest du die folgende Identität.
[mm]\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}[/mm]
Bei einer Summe kannst du wohl die Induktionsannahme benutzen; bei der Anderen mußt du so ähnlich vorgehen, wie Angela es dir vorgemacht hat.
Grüße
Karl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo ONeill!
Muss hier mit vollständiger Induktion gearbeitet werden? Anderenfalls bist Du durch Anwendung des ![[]](/images/popup.gif) binomischen Lehrsatzes ruckzuck fertig, wenn du $a \ = \ b \ = \ 1$ einsetzt:
[mm] $$(a+b)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*a^{n-k}*b^k$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 So 28.10.2007 | | Autor: | ONeill |
Danke Karl für deine Hilfe!
Loddar es steht nicht drin, dass man des mit Induktion machen muss, kenne aber kein anderes Beweiverfahren...wie gehe ich denn dann weiter vor?
[mm]a \ = \ b \ = \ 1[/mm] einsetzt:
>
> [mm](a+b)^n \ = \ \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*a^{n-k}*b^k[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*1*1
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}
[/mm]
Und das reicht schon? ODer wie gehts weiter?
Sorry, dass ich so doof hinterherfragen muss, aber in Mathe komm ich derzeit nicht wirklich mit.
Danke!
Lg ONeill
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> Danke Karl für deine Hilfe!
> Loddar es steht nicht drin, dass man des mit Induktion
> machen muss, kenne aber kein anderes Beweiverfahren...wie
> gehe ich denn dann weiter vor?
> [mm]a \ = \ b \ = \ 1[/mm] einsetzt:
> >
> > [mm](a+b)^n \ = \ \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*a^{n-k}*b^k[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*1*1[/mm]
> [mm]=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}[/mm]
> Und das reicht schon? ODer wie gehts weiter?
> Sorry, dass ich so doof hinterherfragen muss, aber in
> Mathe komm ich derzeit nicht wirklich mit.
> Danke!
> Lg ONeill
Hallo,
Du hast den Beweis nun eigentlich dastehen, vielleicht erkennst Du es nicht.
Es ist ja für alle [mm] n\in \IN [/mm] zweifellos
[mm] 2^n=(1+1)^n
[/mm]
(nun den Binimischen Satz)
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*1^{n-k}*1^k
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}
[/mm]
Was soll man dazu noch sagen? Nichts. Es ist jetzt bewiesen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 So 28.10.2007 | | Autor: | ONeill |
Gut stimm, jetzt seh ichs endlich.
Vielen Dank für eure große Hilfe und die Mühe!
Schönen Sonntag noch.
Lg ONeill
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