noethersch geordnete mengen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:19 Di 26.10.2004 | | Autor: | Decker |
Hat jede noethersch geordnete Menge ein minimales Element? Warum oder warum nicht? Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:47 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Gnometech |
Grüße!
Damit Dir irgendjemand helfen kann, wäre es nett, wenn Du mindestens eure Definition einer "noethersch geordneten Menge" posten könntest. Ebenso wäre ein Lösungsansatz von Dir oder ein Hinweis, an welcher Stelle es hakt sehr hilfreich. 
Lars
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Decker |
moin,
ich habe als definition nur
" Die geordnete Menge [mm] (M,\le) [/mm] heisst noerthersch geordnet, falls jede Teilmenge [mm] N\subseteqM, [/mm] mit N [mm] \not= [/mm] 0 ein minimales Element besitzt."
Bedeutet das jetzt, dass eine Menge nur dann noerthersch ist wenn sie ein kleinstes Element besitzt oder hängt das von den Teilmengen ab? Und wie kann man herausfinden, ob die Teilmengen ein kleinstes Element besitzten?
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Grüße!
Also, Deine erste Frage hat ein klares "JA" verdient. Denn wenn eine Menge noethersch geordnet ist, dann hat jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element und damit natürlich auch die Menge selbst. (Es sei denn sie ist selbst leer, aber das wollen wir mal nicht hoffen!)
Die Umkehrung gilt aber im Allgemeinen NICHT. Das heißt, dass es geordnete Mengen gibt, die zwar ein kleinstes Element haben, die aber Teilmengen haben, für die das nicht zutrifft.
Beispiel: [mm] $\IR_+ [/mm] = [mm] \{ x \in \IR : x \geq 0 \}$
[/mm]
Diese Menge hat ein kleinstes Element (nämlich 0). Aber es gibt Teilmengen, die kein kleinstes Element besitzen: $]1,2[ = [mm] \{ x \in \IR: 1 < x < 2 \} \subseteq \IR_+$
[/mm]
Die natürlichen Zahlen hingegen sind ein Beispiel einer noethersch geordneten Menge, denn jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen hat ein kleinstes Element (Peano-Axiome bzw. das ist äquivalent zum Induktionsprinzip).
Alles klar?
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Decker |
hey danke, ist logisch, habe nur zu kurz gedacht. aber das ist doch jetzt nicht gleichbedeutend mit kleinstes Element, oder?
aber danke schon mal, das hat mir echt geholfen. muss nur noch lernen weit genug zu denken.
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