norm. Raum über anderen Körper < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Mi 28.01.2015 | | Autor: | havoc1 |
Hallo,
ich habe keine Aufgabe sondern eine Frage. Wieso werden normierte Räume als Vektorräume über R oder C definiert?
Gibt es einen mathematischen Grund, dass man nicht z.B. auch Q oder Z/2Z als Körper wählt? Ist es möglicherweise so, dass die Norm nur absolut homogen ist, wenn man als Körper R/C wählt?
Ich wäre für eure Einschätzung bzw. Begrüdung hierzu sehr dankbar!
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Hallo,
Damit das Axiom [mm] $||\lambda [/mm] x [mm] ||=|\lambda|||x||$ [/mm] sinnvoll ist, muss natürlich für Skalare klar sein, was [mm] $|\lambda|$ [/mm] sein soll. Falls der Skalarkörper [mm] $\IZ/2$ [/mm] ist, haben wir so etwas a priori nicht. Für [mm] $\IR [/mm] $ oder [mm] $\IC [/mm] $ haben wir den Absolutbetrag. Körper, die so etwas besitzen, sind ausgestattet mit einer ![[]](/images/popup.gif) Valuation. Für die Definition einer Norm in allgemeoneren Situationen siehe auch hier.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Mi 28.01.2015 | | Autor: | havoc1 |
Puh, also das übersteigt gerade mein wissen bzw. auch Aufnahmefähigkeit, ich lese mich da morgen noch einmal rein.
Aber wie verhält es sich mit Körpern die eine Bewertung/Valuation besitzen? Kann man mit diesen einen normierten Vektorraum definieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Mi 28.01.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Puh, also das übersteigt gerade mein wissen bzw. auch
> Aufnahmefähigkeit, ich lese mich da morgen noch einmal
> rein.
> Aber wie verhält es sich mit Körpern die eine
> Bewertung/Valuation besitzen? Kann man mit diesen einen
> normierten Vektorraum definieren?
Klar. Da kann man auch "richige" Analysis machen. Die teilweise einfacher ist als über [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$. [/mm] Ein Beispiel ist die p-adische Analysis; das geht natürlich auch mehrdimensional und nicht nur eindimensional, womit man dann bei normierten Räumen ist.
Auch kann man Körpererweiterungen von bewerteten Körpern als normierte Vektorräume auffassen: zum Beispiel ist ja [mm] $\IC$ [/mm] eine Erweiterung von Grad 2 von [mm] $\IR$, [/mm] und der Betrag auf [mm] $\IC$ [/mm] macht [mm] $\IC$ [/mm] zu einem normierten Vektorraum über [mm] $\IR$. [/mm] Bei beliebigen bewerteten Körpererweiterungen (und Ringerweiterungen) geht das ebenso.
LG Felix
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