norm < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe eine Aufgabe mit der ich leider gar nichts anfangen kann ich weiß nicht mal was ich genau machen soll oder wie es wirklich geht. Die Aufgabe lautet:
Sei f(x)=x-sin(x) in [0,1]. Bestimmen Sie ein [mm] n_{0} [/mm] so, dass
[mm] ||f-B_{n}f||_{ \infty} [/mm] < 1/10 f+r alle n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Ich verstehe nicht was B sein soll irgendeine Matrix vermutlich aber wie sieht die aus? und wie gehe ich an so eine Lösung ran, bzw wie sieht die Lösung aus?
Vielen Dank falls mir damit jemand weiterhelfen kann
sternschnuppe
|
|
| |
|
>
> Sei f(x)=x-sin(x) in [0,1]. Bestimmen Sie ein [mm]n_{0}[/mm] so,
> dass
> [mm]||f-B_{n}f||_{ \infty}[/mm] < 1/10 f+r alle n [mm]\ge n_{0}.[/mm]
> Ich
> verstehe nicht was B sein soll irgendeine Matrix vermutlich
> aber wie sieht die aus?
Hallo,
worum geht es denn gerade in der Vorlesung zur Aufgabe? Es ließe sich dann zielgerichteter raten...
In meinem aktuellen Kurs sind die [mm] B_{n} [/mm] die B-Splines. Könnt' das passen?
Wird was interpoliert?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 Di 12.07.2005 | | Autor: | matrinx |
Hallo,
[mm] B_{n}f [/mm] könnte auch eine Funktionenfolge sein, die gegen f konvergiert und ab einem bestimmten [mm] n_{0} [/mm] immer näher an f ist als [mm] \bruch{1}{10}.
[/mm]
Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) jkrieger.de (nur sehr allgemeiner Überblick)
Grüsse
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Di 12.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Es könnten auch die Bernsteinpolynome auf [0,1] gemeint sein.
[mm]B_n^f(x)=\sum_{k=0}^{n}f(\bruch{k}{n}){n \choose k}x^k (1-x)^{n-k}[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
Also über Bernsteinpolynome haben wir etwas gemacht allerdings haben wir nur gesagt bekommen das die existieren. was bedeutet das denn jetzt für meine Aufgabe? kannst du mir dazu auch noch etwas sagen? So wie ich das gesehen habe ist das doch eien folge muß ich die jetzt ab einem bestimmt folgenglied nehmen?
Vielen Dank schon mal für die scnellen informationen ich hatte dazwischen überhaupt keinen Zusammenhang gesehen.
Sternschnuppe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:24 Mi 13.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Hi!
Ich hab die Aufgabe unten sozusagen gelöst!
Viel Spaß,
Jazzy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Di 12.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Hi,
Du musste die Differenz der beiden Funktionen in der Supremumsnorm abschätzen. Das heißt, überlegen, wie groß der Abstand zwischen den Funktionswerten von [mm]x-\sin{x}[/mm] und [mm]B_n^f(x)[/mm] maximal werden kann für x aus [0,1]. Das ist dann irgendwas, wo noch ein n drinsteht.
Jetzt musst Du diesen Ausdruck kleiner als 1/10 bekommen (n groß genug wählen).
Kann es sein, dass ihr etwas über die Konvergenzgeschwindigkeit der Bernsteinpolynome gemacht habt, bzw irgendeine allgemeingültige Abschätzung über den Approximationsfehler hergeleitet habt?
Gruß,
Jazzy
|
|
|
| |
|
Hallo,
also das einzige was ich zu Bernsteinpolynomen in der Vorlesung gemacht habe ist ein Beispiel:
[mm] B_{n}:C[0,1]->C[0,1], [/mm] n [mm] \in \IN^{>0}
[/mm]
[mm] (B_{n} [/mm] f)(x)= [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} x^{k} (1-x)^{n-k} [/mm] f(k/n) n-tes Bernsteinpolynom
a) Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n
b) [mm] B_{n}( \alpha [/mm] f + [mm] \beta [/mm] g) = [mm] \alpha B_{n} [/mm] f + [mm] \beta B_{n} [/mm] g , [mm] B_{n} [/mm] linear
c) [mm] B_{n}e_{0} [/mm] = 1
d) [mm] B_{n} [/mm] monoton
e) [mm] |B_n| [/mm] = 1, [mm] ||B_{n} [/mm] f|| [mm] \le [/mm] || f ||
mehr hab ich dazu leider nciht und ich weiß nicht ganz was mir das für die Aufgabenstellung bringen soll.
Vielen Dank für die ganze Hilfe
Sternschnuppe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Di 12.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Ich denk mal drüber nach und schreib es mir auf, vielleicht fällt mir dann etwas ein, sollte eigentlich nicht zu schwer sein!
Viele Grüße,
Jazzy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Di 12.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Hi,
ja, damit kann man nichts anfangen :)
Man kann den Approximationsfehler abschätzen.
Da das Intervall kompakt ist, ist die Funktion glm. stetig.
Zu [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es ein [mm] \delta [/mm] >0, sodass |f(x)-f(y)|< [mm] \epsilon [/mm] falls |x-y|< [mm] \delta
[/mm]
Mit diesen Zahlen kannst Du [mm] \left| B_n^f(x)-f(x) \right| [/mm] abschätzen:
durch [mm] \epsilon [/mm] + 2 ||f|| [mm] \bruch{2}{4n\delta ^2}
[/mm]
Das ganze musst Du kleiner als 1/10 bekommen.
Die Sup-Norm von f ist in unserem Fall f(1)=1-sin(1), da die Funktion positiv ist auf [0,1] und monoton steigend.
Jetzt finden wir eine Beziehung zwischen Epsilon und Delta.
[mm]|f(x)-f(y)|=|x-\sin(x)-(y - \sin(y))| \le |x-y|+|\sin(x)-\sin(y)| [/mm]
[mm]= |x-y| \cdot (1+ \bruch{ |\sin(x)-\sin(y)|}{|x-y|}) [/mm]
[mm]\le |x-y| \cdot (1+\sup_{x}{\cos(x)})=2 \cdot |x-y|[/mm]
Das heißt, ist
[mm]|x-y|< \bruch{\delta}{2}[/mm],
so ist [mm]|f(x)-f(y)| < \delta [/mm]
Also sieht die Formel nun so aus:
[mm] \left| B_n^f(x)-f(x) \right| \le \delta + 2 ||f|| \bruch{1}{n\delta ^2}[/mm]
Jetzt suchst Du Dir ein kleines Delta, setzt für die SupNorm von f noch f(1) (ausrechnen) ein und machst das n dann so groß, dass alles kleiner als 1/10 wird!
Vielleicht sollt ihr es so machen.
Der tiefere Sinn in meiner Abschätzung ist der, dass jede stetig differnezierbare Funktion auf einem Kompaktum lipschitzstetig und damit gleichmäßig stetig ist, denn:
[mm]| f(x)-f(y)| \le \Vert f' \Vert_{\infty} \cdot |x-y|[/mm]
Puh, jetzt bin ich fertig, genug für heute *g*
|
|
|
|
