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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Do 21.03.2013 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] \IQ \subset \IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}) [/mm] ist eine normale Körpererweitung. |
Hallo Ihr Lieben,
bevor ich mich um Normalität (d.h. jedes irreduzible Polynom f aus [mm] \IQ [/mm] mit NS in [mm] \IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}) [/mm] zerfällt in [mm] \IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}) [/mm] Lin.faktoren)
kümmere habe ich mir Gedanken um die Dimension gemacht.
(Ob notwendig oder nicht ist egal, ich versuche das zu üben)
Ich habe mir überlegt:
[mm] \IQ \subset \IQ(i) [/mm] ist KE mit Dimension 2
[mm] \IQ \subset \IQ(\wurzel{3}) [/mm] ebenfalls
[mm] \IQ \subset \IQ(\wurzel[3]{2}) [/mm] hat Dimension 3
mit Hilfe von
[mm] [\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ]=[\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ(i,\wurzel{3})]*[\IQ(i,\wurzel{3}):\IQ(i)]*[\IQ(i):\IQ]
[/mm]
dachte ich mir muss die Dim von [mm] [\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ] [/mm] =12 sein und habe auch mal die Basiselemente aufgeschrieben. ich komme auf folgende Basis:
{ [mm] 1,i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}, i*\wurzel{3}, i*\wurzel[3]{2}, \wurzel{3}*\wurzel[3]{2}, \wurzel[3]{2}^{2}, i*\wurzel[3]{2}^{2}, \wurzel{3}*\wurzel[3]{2}^{2}, i*\wurzel{3}*\wurzel[3]{2}, i*\wurzel{3}*\wurzel[3]{2}^{2} [/mm] }
Stimmt das so?
Oder ist das kompletter Blödsinn?
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Hallo,
das Problem bei deiner rechnung hier:
>
$ [mm] [\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ]=[\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ(i,\wurzel{3})]\cdot{}[\IQ(i,\wurzel{3}):\IQ(i)]\cdot{}[\IQ(i):\IQ] [/mm] $
ist, dass du vorher nur [mm] $[\mathbb [/mm] Q [mm] (\text{whatever}) [/mm] : [mm] \mathbb [/mm] Q]$ berechnet hast, nicht aber das was du verwendest.
Fieses Gegenbsp:
Sei [mm] $\xi_n$ [/mm] eine n-te Einheitswurzel.
Dann ist [mm] $[\mathbb Q(\xi_3):\mathbb Q]=[\mathbb Q(\xi_6):\mathbb [/mm] Q]=3$ und [mm] $[\mathbb Q(\xi_3,\xi_6):\mathbb Q(\xi_3)] \neq [/mm] 3$
Einfacher zu begründen finde ich die folgende Reihenfolge:
$ [mm] [\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ]=[\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ(\sqrt[3]{2},\wurzel{3})]\cdot{}[\IQ(\sqrt[3]{2},\wurzel{3}):\IQ(\sqrt{3})]\cdot{}[\IQ(\sqrt{3}):\IQ] [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Fr 22.03.2013 | | Autor: | cmueller |
Hey,
danke für die Antwort, da hast du natürlich recht, falls es ein komplexes gibt sollte man das eh immer zu schluss adjungieren ne!? Ich mein ich hätte da mal was gelernt -.-'
Nach deinem Vorschlag kommt man aber auf höhere Dimension oder?
Ich habe
[ [mm] \IQ (\wurzel{3}) [/mm] : [mm] \IQ [/mm] ] =2
[ [mm] \IQ (\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}) [/mm] : [mm] \IQ (\wurzel{3}) [/mm] ] = 5 (?)
und was passiert wenn ich noch ein i adjungiere?
Ich versuche das immer über die Basis elemente hinzukriegen, ich glaube über das Minimalpolynom ist das einfacher oder? aber Wie sieht das aus? zB in diesen 3 Fällen?
Edit:
Ich hab nochmal genauer über diese Minimalpolynomgeschichte nachgedacht...
Dazu noch eine neue Frage:
Minimalpolynom von:
[mm] \wurzel{3} [/mm] ist [mm] x^{2}-3
[/mm]
[mm] \wurzel[3]{2} [/mm] ist [mm] x^{3}-2
[/mm]
i ist [mm] x^{2}+1
[/mm]
kann ich das hintereinanderschalten?
quasi:
Minimalpolynom von i, [mm] \wurzel{3}, \wurzel[3]{2} [/mm] ist
[mm] $(x^{2}-3)*(x^{3}-2)*(x^{2}+1) [/mm] = [mm] x^{7}-2x^{5}-4x^{4}-3x^{3}+4x^{2}+6$ [/mm] ?
Dann hätte ich die Kette:
[ [mm] \IQ [/mm] (i, [mm] \wurzel{3}, \wurzel[3]{2}) [/mm] : [mm] \IQ (\wurzel{3}\wurzel[3]{2}) [/mm] ]*[ [mm] \IQ (\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}) [/mm] : [mm] \IQ (\wurzel{3}) [/mm] ]*[ [mm] \IQ (\wurzel{3}) [/mm] : [mm] \IQ [/mm] ] = 7*5*2 = 70?
...kommt mir soviel vor...? Hilfe!!
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Sorry, ich scheine dich unnötig verunsichert zu haben.
Das ergebnis war richtig, nur halt unzureichend begründet.
> Hey,
> danke für die Antwort, da hast du natürlich recht, falls
> es ein komplexes gibt sollte man das eh immer zu schluss
> adjungieren ne!? Ich mein ich hätte da mal was gelernt
> -.-'
Ich ahne was Du meinst: Ist [mm] $K\subseteq \mathbb [/mm] R$ und [mm] $L\not\subseteq \mathbb [/mm] R$, aber mit $L [mm] \subseteq [/mm] C$ So ist [mm] $[L:K]\geq [/mm] 2$, da [mm] $K\neq [/mm] L$. Ist $L=K(i)$ so gilt sogar Gleichheit.
>
> Nach deinem Vorschlag kommt man aber auf höhere Dimension
> oder?
Nein.
> Ich habe
> [ [mm]\IQ (\wurzel{3})[/mm] : [mm]\IQ[/mm] ] =2
> [ [mm]\IQ (\wurzel{3}, \wurzel[3]{2})[/mm] : [mm]\IQ (\wurzel{3})[/mm] ] = 5
> (?)
Das Fragezeichen hab ich auch? Wie kommst du auf 5?
> und was passiert wenn ich noch ein i adjungiere?
> Ich versuche das immer über die Basis elemente
> hinzukriegen, ich glaube über das Minimalpolynom ist das
> einfacher oder? aber Wie sieht das aus? zB in diesen 3
> Fällen?
>
> Edit:
> Ich hab nochmal genauer über diese
> Minimalpolynomgeschichte nachgedacht...
> Dazu noch eine neue Frage:
>
> Minimalpolynom von:
> [mm]\wurzel{3}[/mm] ist [mm]x^{2}-3[/mm]
> [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] ist [mm]x^{3}-2[/mm]
> i ist [mm]x^{2}+1[/mm]
>
Beim Minimalpolynom ist es wichtig zu wissen über welchem Grundkörper.
Das Min. Pol. von i über den reellen zahlen ist [mm] $X^2+1$, [/mm] das über den komplexen ist $X-i$
> kann ich das hintereinanderschalten?
> quasi:
> Minimalpolynom von i, [mm]\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}[/mm] ist
> [mm](x^{2}-3)*(x^{3}-2)*(x^{2}+1) = x^{7}-2x^{5}-4x^{4}-3x^{3}+4x^{2}+6[/mm]
> ?
Das ist nach Konstruktion(!) kein Min.Pol.
Es ist reduzibel. Die Zerlegung hast du bereits angegeben.
> Dann hätte ich die Kette:
> [ [mm]\IQ[/mm] (i, [mm]\wurzel{3}, \wurzel[3]{2})[/mm] : [mm]\IQ (\wurzel{3}\wurzel[3]{2})[/mm]
> ]*[ [mm]\IQ (\wurzel{3}, \wurzel[3]{2})[/mm] : [mm]\IQ (\wurzel{3})[/mm] ]*[
> [mm]\IQ (\wurzel{3})[/mm] : [mm]\IQ[/mm] ] = 7*5*2 = 70?
>
> ...kommt mir soviel vor...? Hilfe!!
>
Den gedenkengang kann ich beim besten Willen nicht nachvollziehen.
Mein Gedankengang ist folgender:
$ [mm] [\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ]=[\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ(\sqrt[3]{2},\wurzel{3})]\cdot{}[\IQ(\sqrt[3]{2},\wurzel{3}):\IQ(\sqrt{3})]\cdot{}[\IQ(\sqrt{3}):\IQ] [/mm] $
von rechts nach links:
[mm] $[\IQ(\sqrt{3}):\IQ] [/mm] $=2 aufgrund Min.pol.
[mm] $[\IQ(\sqrt[3]{2},\wurzel{3}):\IQ(\sqrt{3})]=3$,
[/mm]
denn
[mm] $[\IQ(\sqrt[3]{2},):\IQ]=3$ [/mm] nach Minpol.
und
[mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})\cap IQ(\sqrt{3})]=\mathbb [/mm] Q$ aus Gradgründen (teilerfremd) (Das ist es ziemlich nützlicher Trick)
[mm] $[\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ]=[\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ(\sqrt[3]{2},\wurzel{3})]$ [/mm] nach dem oben bereits erwähnten Trick mit reellen/komplexen Zahlen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Sa 23.03.2013 | | Autor: | cmueller |
Hey,
alles klar, dann bin ich ja aus verunsicherung in ziemlich abstruse Richtungen gelaufen :D
Danke für die Erklärung.
> Das Min. Pol. von i über den reellen zahlen ist [mm]X^2+1[/mm], das
> über den komplexen ist [mm]X-i[/mm]
> > kann ich das hintereinanderschalten?
> > quasi:
> > Minimalpolynom von i, [mm]\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}[/mm] ist
> > [mm](x^{2}-3)*(x^{3}-2)*(x^{2}+1) = x^{7}-2x^{5}-4x^{4}-3x^{3}+4x^{2}+6[/mm]
> > ?
> Das ist nach Konstruktion(!) kein Min.Pol.
> Es ist reduzibel. Die Zerlegung hast du bereits angegeben.
Stimmt natürlich. Wenn ich ein Polynom nicht in das Produkt zweier Polynome aus [mm] \IK [/mm] darstellen kann, ist es irreduzibel....aber wie "bastel" ich mir dann ein Minimalpolynom? zB´aus dem Körper [mm] \IQ(\wurzel{3},\wurzel[3]{2})?
[/mm]
Ich bin übrigens drauf gekommen, weil in einer Aufgabe das MP von [mm] \xi=e^{\bruch{2\pi i}{3}} [/mm] ja [mm] x^{2}+x+1=(x-\xi)(x-\xi^{2}) [/mm] war. das ist aber über [mm] \IQ [/mm] (bzw. auch [mm] \IQ(\wurzel[3]{2}) [/mm] nicht zerlegbar und deshalb kann ich das so schreiben richtig?
> > Dann hätte ich die Kette:
> > [ [mm]\IQ[/mm] (i, [mm]\wurzel{3}, \wurzel[3]{2})[/mm] : [mm]\IQ (\wurzel{3}\wurzel[3]{2})[/mm]
> > ]*[ [mm]\IQ (\wurzel{3}, \wurzel[3]{2})[/mm] : [mm]\IQ (\wurzel{3})[/mm] ]*[
> > [mm]\IQ (\wurzel{3})[/mm] : [mm]\IQ[/mm] ] = 7*5*2 = 70?
> >
> > ...kommt mir soviel vor...? Hilfe!!
> >
> Den gedenkengang kann ich beim besten Willen nicht
> nachvollziehen.
Vergiss ihn :D
>
> Mein Gedankengang ist folgender:
> [mm][\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ]=[\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ(\sqrt[3]{2},\wurzel{3})]\cdot{}[\IQ(\sqrt[3]{2},\wurzel{3}):\IQ(\sqrt{3})]\cdot{}[\IQ(\sqrt{3}):\IQ][/mm]
>
> von rechts nach links:
> [mm][\IQ(\sqrt{3}):\IQ] [/mm]=2 aufgrund Min.pol.
> [mm][\IQ(\sqrt[3]{2},\wurzel{3}):\IQ(\sqrt{3})]=3[/mm],
> denn
> [mm][\IQ(\sqrt[3]{2},):\IQ]=3[/mm] nach Minpol.
> und
> [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})\cap IQ(\sqrt{3})]=\mathbb Q[/mm] aus
> Gradgründen (teilerfremd) (Das ist es ziemlich nützlicher
> Trick)
Den kannte ich gar nicht. danke ist notiert. macht auch sinn^^
Und wegen dem Trick ist MP von [mm][mm] [\IQ(\sqrt[3]{2},\wurzel{3}):\IQ(\sqrt{3})]=[/mm] [mm][\IQ(\sqrt[3]{2},): \IQ]=3[/mm] ?
> [mm][\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ]=[\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ(\sqrt[3]{2},\wurzel{3})][/mm]
> nach dem oben bereits erwähnten Trick mit
> reellen/komplexen Zahlen.
>
Wozu gehört das jetzt? Das ist doch nicht gleich?!
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> Stimmt natürlich. Wenn ich ein Polynom nicht in das
> Produkt zweier Polynome aus [mm]\IK[/mm] darstellen kann, ist es
> irreduzibel....aber wie "bastel" ich mir dann ein
> Minimalpolynom? zB´aus dem Körper
> [mm]\IQ(\wurzel{3},\wurzel[3]{2})?[/mm]
Meine Methodik: Basteln des Min.pol. über [mm] $\IQ$ [/mm] und hoffen, dass es über dem betrachteten Körper nach wie vor irred. ist. Oft hilft das Teilerfremdheitsargument.
Ansonsten hat man ein Vielfaches des Min.Pol. gefunden, dann versuchen das polynom zu zerlegen.
Keine Ahnung ob es was geschickteres gibt.
>
> Ich bin übrigens drauf gekommen, weil in einer Aufgabe das
> MP von [mm]\xi=e^{\bruch{2\pi i}{3}}[/mm] ja
> [mm]x^{2}+x+1=(x-\xi)(x-\xi^{2})[/mm] war. das ist aber über [mm]\IQ[/mm]
> (bzw. auch [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] nicht zerlegbar und deshalb
> kann ich das so schreiben richtig?
>
Ich kann hier leider nicht nachvollziehen was das mit der Aufgabe zu tun hat.
> > von rechts nach links:
> > [mm][\IQ(\sqrt{3}):\IQ] [/mm]=2 aufgrund Min.pol.
> > [mm][\IQ(\sqrt[3]{2},\wurzel{3}):\IQ(\sqrt{3})]=3[/mm],
> > denn
> > [mm][\IQ(\sqrt[3]{2},):\IQ]=3[/mm] nach Minpol.
> > und
> > [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})\cap IQ(\sqrt{3})]=\mathbb Q[/mm] aus
> > Gradgründen (teilerfremd) (Das ist es ziemlich nützlicher
> > Trick)
> Den kannte ich gar nicht. danke ist notiert. macht auch
> sinn^^
> Und wegen dem Trick ist MP von
> [mm][mm][\IQ(\sqrt[3]{2},\wurzel{3}):\IQ(\sqrt{3})]=[/mm] [mm][\IQ(\sqrt[3]{2},): \IQ]=3[/mm] ?
Richtig.
> [mm][\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ]=[\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ(\sqrt[3]{2},\wurzel{3})][/mm]
> nach dem oben bereits erwähnten Trick mit
> reellen/komplexen Zahlen.
>
Wozu gehört das jetzt? Das ist doch nicht gleich?!
Richtig, copy-and-paste Fehler meinerseits.
Gemeint war:
[mm][\IQ(i,\wurzel{3}, \wurzel[3]{2}):\IQ(\sqrt[3]{2},\wurzel{3})]=2[/mm]
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