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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Seien A eine nichtleere Menge, f: [mm] A\to \IC, [/mm] und [mm] 1\le p
a) [mm] f\in l^p(A) \gdw |f|^p \in l^1(A).
[/mm]
b) [mm] l^p(A)\subset l^q(A) [/mm] und für [mm] f\in l^p(A) [/mm] gilt: [mm] ||f||_q\le ||f||_p.
[/mm]
c) A ist abzählbar [mm] unendlich,(a_j)_{j\in \IN} [/mm] ist eine bij. Abzählung von A [mm] \Rightarrow ||f||_p=\summe^{\infty}_{j=0}|f(a_j)|^p)^{\bruch{1}{p}}, [/mm] falls [mm] 1\le [/mm] p< [mm] \infty [/mm] und [mm] ||f||_{\infty}=sup_{j\in \IN}|f(a_j)|.
[/mm]
d) A endlich, [mm] C:=|A|^{\bruch{1}{p}-\bruch{1}{q}} \Rightarrow ||f||_p\le C||f||_q. [/mm] |
Moin!
Auch hierzu wieder einige FRagen.
a) was genau bezeichnet [mm] |f|^p? [/mm] Wie betrachte ich den Absolutbetrag einer Funktion? Macht das Sinn?
b) hab ich direkt versucht, mach aber wenig sinn, weil ich damit nicht gleich die Aussage [mm] ||f||_q\le ||f||_p [/mm] mit"erschlage". Geht das einigermaßen passabel über Induktion? Oder bekomme ich da (wie ich befürchte) Probleme mit den Wurzeln?
c) Ähem... dazu habe ich überhaupt keine Idee, weil ich nicht ganz den Unterschied sehe.
d) sei n:=|A|. Dann gilt: [mm] C:=n^{\bruch{1}{p}-\bruch{1}{q}}=\bruch{n^{\bruch{1}{p}}}{n^{\bruch{1}{q}}},d.h. [/mm] die Aussage umformuliert wäre doch:
[mm] (\bruch{\summe_{a\in A}|f(a)|^p}{n})^{\bruch{1}{p}}\le (\bruch{\summe_{a\in A}|f(a)|^q}{n})^{\bruch{1}{q}}, [/mm] oder habe ich da mal wieder etwas übersehen?
Wie auch immer, ich hoffe, dass mir jemand helfen kann,
Gruß,
San
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Hallo und guten Morgen,
es ist [mm] |f|^p [/mm] die Abbildung [mm] x\mapsto |f(x)|^p, [/mm]
und die erste Aufgabe sollte sich direkt aus der Def. ergeben, richtig ?
Bei der (b) sollte sich alles aus der letzten Ungleichung ergeben (ausgenommen die
Striktheit der Inklusion), also aus
[mm] \f\in l^p(A)\: \Rightarrow\: \parallel f\parallel_q\leq \parallel f\parallel_p.
[/mm]
Diese Ungl. beweist man mit Hilfe der sog. Ungleichung der verallg. Mittel:
Für [mm] x_i\in\IR, 1\leq i\leq [/mm] n gilt für [mm] s\leq [/mm] t
[mm] \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^s}_{s}\leq \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^t}_{t}
[/mm]
Zur (c): Das nimmt man entweder für den abz. fall direkt als definition oder stellt fest, dass
für den abz. Fall das lebesgue-Integral sich so schreiben läßt.
Zur 9d): Sollte stimmen, und dann wendet man wieder die obige Ungl. an.
Schau zum Thema auch mal bei Wikipedia - oder besser: In einem Lehrbuch zur Funktionalanalysis, zB dem
von Wilhelm Alt (''Lineare Funktionalanalysis - Eine anwendungsorientierte Einführung'', Springer).
Gruss,
Mathias
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