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nullstel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Do 31.08.2006
Autor: kelviser

Aufgabe
berechne die nullstellen, extrempunkte und wendestellen der funktion:
f(x):= [mm] x*ln(\bruch{x^2}{9}) [/mm]

hallo an alle,

leider komme ich bei dieser aufgabe nicht weiter.

1) Nullstellen?

ich habe folgende ansätze, komme aber leider nicht weiter:
durch logarithmenregel:

lnx² - ln9 = 0
ln x²= ln9

habe im derive -3 rausbekommen, weiss aber nicht, wie ich per rechnung dahin komme. da x² gilt, gilt ja auch logischerweise +3.
aber leider weiss ich eben nicht, wie der lösungsweg dahin ist.

2) extremstellen:

f'(x)=0

f'(x)=? dies weiss ich leider nicht.
auch hier habe ichmit derive die 1., 2., und 3. ableitung rausbekommen, jedoch weiss ich nicht wie derive das rauskriegt....?????


nach derive:
1. ableitung:

2x [mm] *ln(\bruch{x^2}{9}) [/mm] + 2x

2. Ableitung:

2 * [mm] ln(\bruch{x^2}{9}) [/mm] +6


könnte mir jemand auch hier bitte erklären wie ich 1. die ableitungen bekomme(leider naauch nach 2 rechnungen missglückt) und wie ich eben diese =0 stelle. das problem ist, ich weiss nicht, wie man mit ln und dem x daneben klarkommt.


Danke schon im voraus

lg

        
Bezug
nullstel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:39 Do 31.08.2006
Autor: Event_Horizon

Die NST hast du doch schon fast.

ln x² = ln 9

Das gilt doch für x²=9. Also sind die NST -3, +3 und natürlich 0

Übrigens,  ln(s) hat eine Nullstelle bei s=1. Demnach hättest du auch einfach ausrechnen können, wann der Bruch 1 ist.

Ableitung:

[mm] $\left( x\ln\bruch{x^2}{9}\right)'$ [/mm]

Produktregel:

$ [mm] x'*\ln\bruch{x^2}{9}+x*\left(\ln\bruch{x^2}{9}\right)'$ [/mm]

und jetzt noch innere Ableitung mal äußere:


$ [mm] x'*\ln\bruch{x^2}{9}+x*\left(\bruch{x^2}{9}\right)'\ln'\bruch{x^2}{9}$ [/mm]

jetzt gilt noch für den ln:
[mm] $(\ln s)'=\bruch{1}{s}$ [/mm]

also:

$ [mm] x'*\ln\bruch{x^2}{9}+x*\left(\bruch{x^2}{9}\right)'*\bruch{9}{x^2}$ [/mm]

Bekommst du die anderen Ableitungen hin?

Bezug
                
Bezug
nullstel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 Do 31.08.2006
Autor: kelviser

also, erstemals danke für die schnelle reaktion.

in meiner formelsammlung steht:

f(x) :=  ln x

f'(x):= [mm] \bruch{1}{x} [/mm]

ist dann die ableitung von ln [mm] (\bruch{x^2}{9}) [/mm] =

[mm] \bruch{1}{x²/9}?????? [/mm]

sodass hier bei der ableitung das ln vollkommen wegfällt???

lg

Bezug
                        
Bezug
nullstel: Korrektur?!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 Do 31.08.2006
Autor: Ramanujan

Hallo!

Also ich bin der Auffassung, dass die erste Ableitung anders lauten müsste. Erstmal hab ich mir den Term in Summanden zerlegt, auf die nur noch die Produktregel anzuwenden ist.
D.h.:
[mm] f(x)=x*ln(\bruch{x²}{9} [/mm]
f(x)= x*ln(x²)-x*ln(9)

1. Ableitung nach Produktregel (ausführlich):
f'(x)=ln(x²)+ [mm] x*\bruch{2x}{x²}-ln(9)+0 [/mm]

Zusammengefasst gibt das: [mm] f'(x)=2+ln(\bruch{x²}{9}) [/mm]

Die weiteren Ableitungen erfolgen nach dem analogen Prinzip.

MfG

Ramanujan

Bezug
                
Bezug
nullstel: Kleine Ungenauigkeit!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:06 Do 31.08.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Event,

> Die NST hast du doch schon fast.
>  
> ln x² = ln 9
>  
> Das gilt doch für x²=9. Also sind die NST -3, +3 und
> natürlich 0

Letzteres stimmt natürlich nicht, da x=0 gar nicht in der Definitionsmenge der gegebenen Funktion liegt! (ln(0) = ???)

mfG!
Zwerglein

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