nullstellen trig.funtionen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 So 08.05.2005 | | Autor: | SunnyD |
so HI bin neu hier
In der Schule haben wir mit trigonometrischen Funktionen begonnen aber ich versteh immer noch nicht wie man die Nullstellen berechnet!?!
habe die funktion f(x)=sin(x)+cos(x)
die Funktion soll im Bereich - [mm] \pi \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] untersucht werden
bilde zu erst die 3 Ableitungen f'(x)=cos(x)-sin(x)
f''(x)=-sin(x)-cos(x)
f'''(x)=-cos(x)+sin(x)
dann folgt die Berechnung vom y-Achsenschnittpunkt
y=f(0)=sin(0)+cos(0) [mm] \Rightarrow [/mm] y=1
dann kommen die nullstellen dran
f(x)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] sin(x)+cos(x)=0 |-cos(x)
sin(x)=-cos(x) |:cos(x)
tan(x)=-1 [mm] \Rightarrow [/mm] -45°
[mm] x=-\bruch{4}{4} \pi [/mm] +-k [mm] \* \pi [/mm]
wie rechne ich jetzt weiter!?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo,
> dann kommen die nullstellen dran
> f(x)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] sin(x)+cos(x)=0 |-cos(x)
> sin(x)=-cos(x)
> |:cos(x)
> tan(x)=-1
> [mm]\Rightarrow[/mm] -45°
> [mm]x=-\bruch{4}{4} \pi[/mm] +-k [mm]\* \pi[/mm]
das sind nicht alle Nullstellen:
[mm]\begin{gathered}
f(x)\; = \;\sin (x)\; + \;\cos (x)\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;\cos (x)\;\left( {1\; + \;\tan (x)} \right)\; = \;0 \hfill \\
\Rightarrow \;\cos (x)\; = \;0\; \vee \;1\; + \;\tan (x)\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
> wie rechne ich jetzt weiter!?!
Berechen alle möglichen Nullstellen im Definitionsbereich.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 So 08.05.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, MathePower,
> das sind nicht alle Nullstellen:
>
> [mm]\begin{gathered}
f(x)\; = \;\sin (x)\; + \;\cos (x)\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;\cos (x)\;\left( {1\; + \;\tan (x)} \right)\; = \;0 \hfill \\
\Rightarrow \;\cos (x)\; = \;0\; \vee \;1\; + \;\tan (x)\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
>
Da hast Du Dich ein bissl "verrannt"!
Sicher muss man den Fall: cos(x) = 0 auch untersuchen.
Aber der ist schnell "abgetan", denn: der cos wird null bei allen ungeradzahligen Vielfachen von [mm] \bruch{\pi}{2}. [/mm]
An diesen Stellen aber ist der sin +1 oder -1.
Demnach ist dort sin(x)+cos(x) jedenfalls nicht =0.
Heißt: Dieser Fall ist auszuschließen und wir können uns auf tan(x) = -1 beschränken!
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Hi, Sunny,
>
> habe die funktion f(x)=sin(x)+cos(x)
> die Funktion soll im Bereich - [mm]\pi \le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2 [mm]\pi[/mm]
> untersucht werden
> bilde zu erst die 3 Ableitungen f'(x)=cos(x)-sin(x)
>
> f''(x)=-sin(x)-cos(x)
>
> f'''(x)=-cos(x)+sin(x)
> dann folgt die Berechnung vom y-Achsenschnittpunkt
> y=f(0)=sin(0)+cos(0) [mm]\Rightarrow[/mm] y=1
>
> dann kommen die nullstellen dran
> f(x)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] sin(x)+cos(x)=0 |-cos(x)
> sin(x)=-cos(x)
> |:cos(x)
> tan(x)=-1
> [mm]\Rightarrow[/mm] -45°
Winkel im Gradmaß kannst Du bei der Diskussion von trig.Fkt. gleich weglassen!
> [mm]x=-\bruch{4}{4} \pi[/mm] +-k [mm]\* \pi[/mm]
Muss wohl ein Tippfehler vorliegen! Richtig wäre: x = [mm] -\bruch{\pi}{4} [/mm] + [mm] k*\pi [/mm]
Nun musst Du schauen, welche der Nullstellen in Deiner Definitionsmenge liegen:
k=0: x= [mm] -\bruch{\pi}{4} [/mm] "liegt drin"
k=1: x= [mm] -\bruch{\pi}{4}+\pi [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}\pi [/mm] "liegt drin"
k=2: x= [mm] -\bruch{\pi}{4}+2*\pi [/mm] = [mm] \bruch{7}{4}\pi [/mm] "liegt drin"
k=3: x= [mm] -\bruch{\pi}{4}+3*\pi [/mm] = [mm] \bruch{11}{4}\pi [/mm] "liegt scho nimmer drin".
Also: 3 Nullstellen.
Und mit den Extremstellen (NS der 1. Ableitung) bzw. Wendestellen (NS der 2. Ableitung) machst Du's genauso.
Dabei vermute ich (sicher nicht zu Unrecht),
dass die Nullstellen der Funktion gleichzeitig Wendestellen sind und
dass die Extremalstellen genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen werden.
(Zum Vergleich: Tiefpunkte bei [mm] x=-\bruch{3}{4}\pi [/mm] und [mm] x=\bruch{5}{4}\pi;
[/mm]
Hochpunkt bei x= [mm] \bruch{\pi}{4}. [/mm]
Die "Randextrema" bei [mm] x=-\pi [/mm] und [mm] x=2\pi [/mm] erwähne ich hier "nur am Rande"!)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mo 09.05.2005 | | Autor: | SunnyD |
okay danke habs jetzt so einigermaßen verstanden ;)
hab jetzt die Funktion
f(x)=3sin(x)-4cos(x) setze 0
3sin(x)-4cos(x)=0
3sin(x)=4cos(x)
tan(x)= [mm] \bruch{4}{3} [/mm] ist das richtig? wenn ja, wie rechne ich weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo SunnyD
>
> hab jetzt die Funktion
> f(x)=3sin(x)-4cos(x) setze 0
>
> 3sin(x)-4cos(x)=0
> 3sin(x)=4cos(x)
> tan(x)= [mm]\bruch{4}{3}[/mm] ist das richtig? wenn ja,
> wie rechne ich weiter?
Wenn keine Einschränkungen vorliegen , dann einfach mit arctan(x) multiplizieren!
[mm] x=arctan(\bruch{4}{3})+k*\pi
[/mm]
Den arctan findest du auf deinem Taschenrechner unter [mm] tan^{-1} [/mm] . Der actan(x) ist die Umkehrfunktion von tan(x)!
Gruß Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fabian!
Bitte, bitte nicht schreiben:
" ... mit arctan(x) multiplizieren!"
Das ist nicht richtig, das ist falsch! Es muß heißen:
"Wir wenden auf beiden Seiten der Gleichung den [mm] $\arctan$ [/mm] an."
Dieser Vorgang hat nichts mit Multiplikation zu tun. Nur für das nächste Mal ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Mo 09.05.2005 | | Autor: | SunnyD |
der actran von [mm] \bruch{4}{3} [/mm] is ja 53° muss ich es jetzt ins bogenmaß umrechen also 53 [mm] \* \pi [/mm] /180 [mm] \approx [/mm] 0,93
also x=0,93+k [mm] \* \pi [/mm] ? bei dem anderen Beispiel war ich es gewohnt als Bruch zu schreiben, wie würde es dann heißen!?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo SunnyD,
normalerwiese müsstest du dir auch direkt das Ergebnis von [mm] $\arctan\left(\frac{4}{3}\right)$ [/mm] im Bogenmaß ausgeben lassen können. Versuch mal an deinem Taschenrechner den Mode umzustellen, dass du im Bogenmaß rechnest. Dieser Mode wird normalerweise durch RAD oder R symbolisiert.
Gruß Max
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