offen, abgeschlossen, kompakt, < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Hazzar |
| Aufgabe | Betrachten Sie den metrischen Raum [mm] (\IC [/mm] , d) mit der Betragsmetrik d(z,w)=|z-w| . Welche der Eigenschaften offen, abgeschlossen, kompakt und beschränkt erfüllt die Teilmenge:
[mm] $\{i^n * \frac{n^3 +5n +1}{n^2 -i} , n \in \IN \}$ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe diese Menge bereits auf die Eigenschaft Beschränktheit hin überprüft und bin zu dem Ergebnis gekommen, dass diese Menge nicht beschränkt ist, da die Teilfolge
$ [mm] \frac{n^3 +5n +1}{n^2 -i}$ [/mm]
divergiert. Mit den anderen Eigenschaften tue ich mich aber noch schwer.
Ist es korrekt, dass man hier nicht den Satz von Heine-Borel anwenden kann, da dieser metrische Raum über [mm] \IC [/mm] und nicht über [mm] \IR [/mm] definiert ist?
Mit welchen Sätzen oder Definitionen lassen sich die Begriffe offen und abgeschlossen bei dieser Menge am besten überprüfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Sa 04.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Betrachten Sie den metrischen Raum [mm](\IC[/mm] , d) mit der
> Betragsmetrik d(z,w)=|z-w| . Welche der Eigenschaften
> offen, abgeschlossen, kompakt und beschränkt erfüllt die
> Teilmenge:
> [mm]\{i^n * \frac{n^3 +5n +1}{n^2 -i} , n \in \IN \}[/mm]
> Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
>
>
> Ich habe diese Menge bereits auf die Eigenschaft
> Beschränktheit hin überprüft und bin zu dem Ergebnis
> gekommen, dass diese Menge nicht beschränkt ist, da die
> Teilfolge
> [mm]\frac{n^3 +5n +1}{n^2 -i}[/mm]
> divergiert. Mit den anderen Eigenschaften tue ich mich aber
> noch schwer.
> Ist es korrekt, dass man hier nicht den Satz von
> Heine-Borel anwenden kann, da dieser metrische Raum über
> [mm]\IC[/mm] und nicht über [mm]\IR[/mm] definiert ist?
Schonmal gut dass du darüber nachdenkst. Aber man kann dieses Argument retten, da [mm] $\IC$ [/mm] isometrisch isomorph zu [mm] $\IR^2$ [/mm] ist. Damit ist die Menge also nicht kompakt, da nicht beschränkt.
> Mit welchen Sätzen oder Definitionen lassen sich die
> Begriffe offen und abgeschlossen bei dieser Menge am besten
> überprüfen?
Also offen in [mm] $\IC$ [/mm] kann diese Menge ja schonmal nicht sein, da sie höchstens abzählbar ist. Wegen der Abgeschlossenheit fällt mir jetzt nach 2min drübernachdenken spontan nix ein. Vielleicht bringt es was, sich die Menge mal in der Gaußschen Zahlenebene zu skizzieren, um auf Ideen zu kommen.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 So 05.10.2008 | | Autor: | Hazzar |
Leider habe ich das Argument, dass die Menge nicht offen in [mm] \IC [/mm] ist noch nicht ganz verstanden. Kannst mir dieses Argument noch ein wenig erläutern? In der Vorlesung hatten wir einen solchen Satz nämlich noch nicht.
Vielleicht fällt ja auch anderen noch eine weitere Möglichkeit ein, wie man diese Menge untersuchen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 So 05.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Leider habe ich das Argument, dass die Menge nicht offen in
> [mm]\IC[/mm] ist noch nicht ganz verstanden. Kannst mir dieses
> Argument noch ein wenig erläutern? In der Vorlesung hatten
> wir einen solchen Satz nämlich noch nicht.
Unsere Menge $M$ ist offensichtlich nicht leer. Angenommen sie wäre offen, so müsste es also einen Punkt [mm] $z\in [/mm] M$ und [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] geben mit [mm] $\IB(z,\varepsilon)\subset [/mm] M$. Aber jeder [mm] $\varepsilon$-Ball [/mm] in [mm] $\IR,\IC$ [/mm] besitzt bereits überabzählbar viele Elemente, also kann $M$ nicht offen sein.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 So 05.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
Bzgl. der Abgeschlossenheit von M:
Du hast ja schon erkannt, dass die Folge gegen unendlich konvergiert.
Für abgeschlossene Mengen in merischen Räumen gibt es die äquivalente Definition, dass der Grenzwert jeder konvergenten Folge in dieser Menge wiederum in dieser Menge liegt.
Jetzt wirf' einfach beides zusammen ^^
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