offen und abgeschlossen? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Do 13.09.2007 | | Autor: | laphus |
Hallo!
Ist die Menge der reellen Zahlen offen oder abgeschlossen? Das Komplement R-R ist ja die leere Menge, und die ist sowohl offen als auch abgeschlossen. Daher müsste R doch eigentlich abgeschlossen und offen sein, oder?
Trotzdem ließt man z.B. in Wikipedia (und in meiner Ana-VL), dass R nur abgeschlossen ist.
Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Do 13.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Also [mm] \IR [/mm] ist offensichtlich offen, da [mm] \IR [/mm] Umgebung eines jeden Punktes aus [mm] \IR [/mm] ist. Oder für jedes [mm] x\in\IR [/mm] und jedes [mm] \epsilon>0 [/mm] ist [mm] U_{\epsilon}(x)\subset\IR. [/mm] Mann kann keinen Punkt aus [mm] \IR [/mm] nehmen, so dass eine Umgebung von diesem Punkt außerhalb von [mm] \IR [/mm] liegt.
Aus dem selben Grund, auch wenn weniger aunschaulich, ist [mm] \emptyset [/mm] offen. Somit ist [mm] \IR [/mm] auch abgeschlossen.
Außerdem hat jede konvergente Folge mit Gliedern aus [mm] \IR [/mm] ihren Grenzwert in [mm] \IR.
[/mm]
Außerdem steht bei ![[]](/images/popup.gif) wiki gerade, dass sowohl die leere Menge, als auch der gesamte topologische Raum, der betrachtet wird, gleichzeitig offen und abgeschlossen sind.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Do 13.09.2007 | | Autor: | laphus |
Danke. Meine Ana-Vl hat mich irgendwie verwirrt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Do 13.09.2007 | | Autor: | laphus |
Hallo! Eine Frage ist mir noch eingefallen: Die Eigenschaft einer Menge offen und/oder geschlossen zu sein, hängt ja von der Obermenge ab. Welche Obermenge betrachtet man, wenn man sagt, dass R offen und geschlossen ist? R als Teilmenge von R?
Wie wäre das, wenn man R als Teilmenge von C auffassen würde? Ist R dann immer noch abgeschlossen und offen?
Danke für eure Hilfe!
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> Hallo! Eine Frage ist mir noch eingefallen: Die Eigenschaft
> einer Menge offen und/oder geschlossen zu sein, hängt ja
> von der Obermenge ab. Welche Obermenge betrachtet man, wenn
> man sagt, dass R offen und geschlossen ist? R als Teilmenge
> von R?
> Wie wäre das, wenn man R als Teilmenge von C auffassen
> würde? Ist R dann immer noch abgeschlossen und offen?
Nein. Abgeschlossen wäre [mm] $\IR$ [/mm] in diesem Falle schon, aber doch sicher nicht offen als Teilmenge des topologischen Raumes [mm] $\IC$. [/mm] Grund: Versuch doch mal, zu einem Punkt [mm] $z_0\in \IC\cap \IR$ [/mm] (also auf der [mm] $\IR$-Geraden [/mm] von [mm] $\IC$) [/mm] in der [mm] $\IC$-Ebene [/mm] eine ganze [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] (eine Kreisscheibe, nicht etwa ein blosses Intervall) zu finden, die ganz in [mm] $\IR$ [/mm] liegt.
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