offen und abgeschlossen/Kurve < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Di 29.11.2011 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega \subset \IR^{n} [/mm] offen und x [mm] \in \Omega [/mm] fest.
Betrachte die Menge [mm] G_{x}=\{y \in \Omega : es gibt eine stetige Kurve \gamma :[0,1] \to \Omega mit \gamma(0)=x und \gamma(1)=y\}
[/mm]
Zeige,dass [mm] G_{x} [/mm] offen und abgeschlossen in [mm] \Omega [/mm] , d.h offen und abgeschlossen im metrischen Raum [mm] (\Omega, ||.||_{2}). [/mm] |
Hallo,
ich habe es versucht , mit der Deffinition von offener Menge zu zeigen.
Zu jedem z [mm] \in G_{x} [/mm] soll ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 existieren, so dass [mm] B_{\varepsilon}(z)\subset G_{x}. [/mm] Ich weiß aber nicht , wie man die Existenz von so einem [mm] \varepsilon [/mm] zeigen kann.
Ich weiß auch nicht , wie/ob ich die Definition der Stetigkeit sinnvoll verwenden kann.
Ich habe mir also zwei Sachen überlegt:
1) über die Definition der offenen Menge vorzugehen
2) über die Eigenschaften der Stetigkeit (z.B das Urbild von offenen Mengen ist offen oder im Bezug auf die Umgebungen ).
Diese Ansätze haben mich bis jetzt nicht weitergebracht.
Welchen Ansatz würdet ihr vorschlagen ?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\Omega \subset \IR^{n}[/mm] offen und x [mm]\in \Omega[/mm] fest.
> Betrachte die Menge [mm]G_{x}=\{y \in \Omega : es gibt eine stetige Kurve \gamma :[0,1] \to \Omega mit \gamma(0)=x und \gamma(1)=y\}[/mm]
>
> Zeige,dass [mm]G_{x}[/mm] offen und abgeschlossen in [mm]\Omega[/mm] , d.h
> offen und abgeschlossen im metrischen Raum [mm](\Omega, ||.||_{2}).[/mm]
>
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> Hallo,
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> ich habe es versucht , mit der Deffinition von offener
> Menge zu zeigen.
>
> Zu jedem z [mm]\in G_{x}[/mm] soll ein [mm]\varepsilon[/mm] >0 existieren, so
> dass [mm]B_{\varepsilon}(z)\subset G_{x}.[/mm] Ich weiß aber nicht
> , wie man die Existenz von so einem [mm]\varepsilon[/mm] zeigen
> kann.
Da [mm] \Omega [/mm] offen ist, gibt es ein [mm]\varepsilon>0 [/mm] so, dass [mm]B_{\varepsilon}(z)\subset\Omega[/mm] ist.
Mal Dir ein Bild.
Nun nimm Dir ein $w [mm] \in B_{\varepsilon}(z)$ [/mm] her. Da [mm] B_{\varepsilon}(z) [/mm] konvex ist kannst Du w mit z in [mm] B_{\varepsilon}(z) [/mm] geradlinig verbinden.
Es gibt also eine stetige Kurve [mm] \delta [/mm] :[0,1] [mm] \to B_{\varepsilon}(z) [/mm] mit [mm] \delta(0)=z [/mm] und [mm] \delta(1)=w.
[/mm]
Da z [mm] \in G_x [/mm] ist gibt es eine stetige Kurve [mm] \gamma [/mm] :[0,1] [mm] \to\Omega [/mm] mit [mm] \gamma(0)=x [/mm] und [mm] \gamma(1)=z.
[/mm]
Nun bastle aus [mm] \delta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] eine Kurve in [mm] \Omega, [/mm] die das Gewünschte leistet.
FRED
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> Ich weiß auch nicht , wie/ob ich die Definition der
> Stetigkeit sinnvoll verwenden kann.
> Ich habe mir also zwei Sachen überlegt:
>
> 1) über die Definition der offenen Menge vorzugehen
> 2) über die Eigenschaften der Stetigkeit (z.B das Urbild
> von offenen Mengen ist offen oder im Bezug auf die
> Umgebungen ).
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> Diese Ansätze haben mich bis jetzt nicht weitergebracht.
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> Welchen Ansatz würdet ihr vorschlagen ?
>
>
> Gruss
> Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Di 29.11.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo fred97,
danke Dir für die Antwort !
Ich habe die Summe von [mm] \gamma [/mm] und [mm] \delta [/mm] genommen.
Ich denke, dass ich jetzt mit Deiner Hilfe das Prinzip verstanden.
Eine Frage habe ich noch dazu:
Kann man in unserem Fall die Kurve [mm] \delta:[0,1]\to B_{\varepsilon}(z) [/mm] immer mit dem Definitionsbereich [0,1] parametrisieren? Warum?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Mi 30.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97,
>
> danke Dir für die Antwort !
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> Ich habe die Summe von [mm]\gamma[/mm] und [mm]\delta[/mm] genommen.
>
> Ich denke, dass ich jetzt mit Deiner Hilfe das Prinzip
> verstanden.
>
> Eine Frage habe ich noch dazu:
>
> Kann man in unserem Fall die Kurve [mm]\delta:[0,1]\to B_{\varepsilon}(z)[/mm]
> immer mit dem Definitionsbereich [0,1] parametrisieren?
> Warum?
$ [mm] \delta(t):=z+t(w-z)$ [/mm] (t [mm] \in [/mm] [01])
FRED
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> Gruss
> Igor
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