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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:15 So 30.01.2011 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | (M,d) metrischer Raum
[mm] O\subseteq [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] M
z.Z.: O ist offen bzgl. Y <=> [mm] \exists O_M \subseteq [/mm] M offen und [mm] O_M \cap [/mm] Y = O |
Hi,
diese Aufgabe beschäftigt mich gerade ziemlich..
Zunächst eine allgemeine Frage zu dem Sachverhalt "offen bezüglich".
Mir ist klar, dass sich die Eigenschaften "offen" und "abgeschlossen" ändern können, wenn ich meinen Bezugsraum ändere.
z.B. M=R, T=[0,1)
Dann ist [0, 1/2) offen bezüglich T, weil [mm] U_\varepsilon [/mm] (0) nicht nach "links rausrutschen" kann, weil da bei diesem Bezugsraum einfach nichts mehr ist. Bzgl R, jedoch sehr wohl, deswegen ist die Menge dort auch abgeschlossen.
Ist die Vorstellung soweit korrekt?
Stimmt es weiterhin, dass bei Vergrößerung des Bezugsraumes lediglich aus "offen" -> "abgeschlossen" werden kann und bei Verkleinerung umgekehrt?
Leider weis ich nicht wie ich diesen Sachverhalt mathematisch in der Definition offener Mengen umsetze.
Nun zur eigentlichen Aufgabe.
Ich habe mir dazu ein Bildchen mit einer Geraden gemacht.
Für diesen Sonderfall, wird recht schnell klar, wie das Ganze im groben aussieht.
Meine Beweisideen:
"<="
Aus der Voraussetzung folgt
O [mm] \subseteq O_M \subseteq [/mm] M
und O [mm] \subseteq [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] M
Es ist [mm] O_M [/mm] bzgl M offen
Damit
O [mm] \subseteq O_M [/mm] => auch O bzgl M offen
O [mm] \subseteq [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] M => O auch bzgl Y offen.
Ist das von der Idee her soweit korrekt? Leider hab ich keinen wirklichen Schimmer wie ich das konkret umsetzen soll.
Ähnlich sieht das bei der anderen Richtung aus:
"=>"
Es ist nur zu zeigen dass ein [mm] O_M [/mm] existiert.
Damit muss man dieses [mm] O_M \supseteq [/mm] O zum einen so wählen, dass [mm] O_M \cap [/mm] Y = O.
Zum anderen so, dass dieses [mm] O_M [/mm] dann bzgl M offen ist.
Für die x [mm] \in [/mm] O kann es dabei nur beim gemeinsamen Rand von Y und O Probleme geben. Dieser wird jedoch durch [mm] O_M [/mm] überdeckt, sodass auch die Randpunkte innere Punkte sind.
Auch hier die Frage, ist das von der groben Idee her richtig und wie zum Geier zeigt man das? ;)
Ich habe leider noch überhaupt kein Gefühl dafür wie sich die paar Defintionen die uns hingeschmissen wurden praktisch gewinnbringend anwenden lassen.
Vielen Dank für eure Mühe :)
lg UNR8D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Di 01.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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