offene Mengen auf offene Menge < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich hätte eine Frage:
Wie kann man denn zegen, dass eine Funktion [mm] f:\IR^2->\IR^2 [/mm] offene Mengen auf offene Mengen abbildet? Ich hab keine Ahnung, mit welchem Satz ich an eine solche Aufgabe herangehen soll...Danke schonmal für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Mi 14.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich hätte eine Frage:
> Wie kann man denn zegen, dass eine Funktion [mm]f:\IR^2->\IR^2[/mm]
> offene Mengen auf offene Mengen abbildet?
Im allgemeinen ist das nicht der Fall. Z.B. bei konstanten Funktionen
> Ich hab keine
> Ahnung, mit welchem Satz ich an eine solche Aufgabe
> herangehen soll...Danke schonmal für eure Hilfe.
Ist f zum Beispiel stetig differenzierbar und ist die Funktionaldeterminante in jedem Punkt ungleich 0, so hat f die gew[nschte Eigenschaft
FRED
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Aber wenn dies der Fall sein solle, also bei einer Funktion, wie beweist man das dann? bzw. was muss ich zeigen, damit das der Fall ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Do 15.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Aber wenn dies der Fall sein solle, also bei einer
> Funktion, wie beweist man das dann? bzw. was muss ich
> zeigen, damit das der Fall ist?
In einer infinitesimalen Umgebung um einen Punkt $x$ verhaelt sich $f$ wie eine affin-lineare Abbildung, deren linearer Teil durch die Funktionaldeterminante gegeben ist. (Sozusagen eine Art Taylor-Entwicklung.)
LG Felix
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Ahm, was? ich kenne die ganzen Wörter gar nicht ;)
infinitesimalen Umgebung
affin-lineare Abbildung,
linearer Teil? ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Do 15.07.2010 | | Autor: | zorin |
> Wie kann man denn zegen, dass eine Funktion [mm]f:\IR^2->\IR^2[/mm]
> offene Mengen auf offene Mengen abbildet?
Wenn [mm]f[/mm] holomorph und nicht konstant ist, dann gilt das z.B.
Oder wenn [mm]f[/mm] linear und surjektiv ist.
Das erste kann man sich im Beweis vom Satz über die Gebietstreue angucken.
Das zweite ist ein bekannter Satz aus der Funktionalanalysis über surjektive stetige lineare Abbildungen zwischen Banachräumen (Open Mapping Theorem).
Ansonsten kann man versuchen zu zeigen, dass jeder Punkt [mm]y\in f(\IR^2)[/mm] eine offene Umgebung (z.B. eine offene Kreisscheibe) [mm]U[/mm] besitzt, die noch ganz im Bild enthalten ist, d.h. [mm]U\subset f(\IR^2)[/mm].
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Hat sich erledigt ;) Satz der Gebietstreue...^^
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