offene teilmengen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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wieso ist es wichtig in der komplexen analysis dass immer von OFFENEN TEILMENGEN geredet wird ... wieso müssen die mengen offen sein?
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Hallo,
es ist schwierig auf diese Frage ohne ein konkretes Beispiel eine Antwort zu geben. Man weiß nicht wogegen z.B. die Teilmengen offen sein sollen.
lg
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hallo, danke fürs damit beschäftigen =)
Es sei [mm] \Omega \subseteq \mathbb [/mm] C eine offene Teilmenge, [mm] z_0 \in \Omega, [/mm] ferner sei f: [mm] \Omega \setminus \{z_0\} \to \mathbb [/mm] C eine holomorphe komplexwertige Funktion.
Dann heißt z0 isolierte Singularität von f.
wieso muss in dem fall die teilmenge offen sein?
und weiter stellt sich mir grad die frage ... eine hebbare singularität ... da passiert ja eig gar nix ... [mm] f(z_0) [/mm] bleibt beschränkt für [mm] z->z_0 [/mm] also gibts da ja gar keine singularität ... oder versteh ich da was falsch ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Do 25.02.2010 | | Autor: | Niladhoc |
Hmpf, da fällt mir nur der Fall ein, dass die abgeschlossene Menge, auf der f definiert ist, selbst ein isolierter Punkt ist. Dann hat der Punkt keine Umgebung und die Einteilung hebbar, Pol k-ter Ordnung oder wesentlich macht keinen Sinn mehr. Kurven in der komplexen Ebene werden jedoch auch ausgeschlossen, da komm ich aber nicht drauf warum.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Do 25.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> wieso muss in dem fall die teilmenge offen sein?
Weil du für die Def. von holomoprh rsp. komplex diffbar eine offene Umgebugn des Punktes brauchst. Diff.bar macht unter umständen keinen Sinn auf nicht offenen Mengen.
> und weiter stellt sich mir grad die frage ... eine hebbare
> singularität ... da passiert ja eig gar nix ... [mm]f(z_0)[/mm]
> bleibt beschränkt für [mm]z->z_0[/mm] also gibts da ja gar keine
> singularität ... oder versteh ich da was falsch ...
Es gibt a priori kein [m]f(z_0)[/m]! Eine Lücke ist hebbar, wenn du f zu einer Funktiong vortsezen kannst, so dass g=f außerhalb von [m]z_0[/m] und g in [m]z_0[/m] def. ist und g holomoprh ist. Dann bezeichnet man bequemerweise das neue g mit dem alten f ...
SEcki
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> > wieso muss in dem fall die teilmenge offen sein?
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> Weil du für die Def. von holomoprh rsp. komplex diffbar
> eine offene Umgebugn des Punktes brauchst. Diff.bar macht
> unter umständen keinen Sinn auf nicht offenen Mengen.
genau das is es ja ... wieso machts da keinen sinn, gerade das versteh ich nicht =)
>
> > und weiter stellt sich mir grad die frage ... eine hebbare
> > singularität ... da passiert ja eig gar nix ... [mm]f(z_0)[/mm]
> > bleibt beschränkt für [mm]z->z_0[/mm] also gibts da ja gar keine
> > singularität ... oder versteh ich da was falsch ...
>
> Es gibt a priori kein [m]f(z_0)[/m]! Eine Lücke ist hebbar, wenn
> du f zu einer Funktiong vortsezen kannst, so dass g=f
> außerhalb von [m]z_0[/m] und g in [m]z_0[/m] def. ist und g holomoprh
> ist. Dann bezeichnet man bequemerweise das neue g mit dem
> alten f ...
hmmm ... das heisst ich geh davon aus dass f in [mm] z_0 [/mm] nicht definiert ist und dann zeig ich dass ich aus f g machen kann und dass dieses g, was ja eig f ist in [mm] z_0 [/mm] definiert ist und das ist dann meine hebbare sing. =)
stimmts so?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Do 25.02.2010 | | Autor: | gfm |
> > > wieso muss in dem fall die teilmenge offen sein?
> >
> > Weil du für die Def. von holomoprh rsp. komplex diffbar
> > eine offene Umgebugn des Punktes brauchst. Diff.bar macht
> > unter umständen keinen Sinn auf nicht offenen Mengen.
> genau das is es ja ... wieso machts da keinen sinn, gerade
> das versteh ich nicht =)
Wie willst Du den Grenzwert von [mm] (f(z)-f(z_0))/(z-z_0) [/mm] bestimmen, wenn [mm] z_0 [/mm] isoliert ist? U.U. klappt das noch, wenn [mm] z_0 [/mm] auf dem Rand liegt, aber eigentlich möchte man haben, dass es egal ist, wie [mm] z\to z_0 [/mm] strebt und dann macht es schon Sinn, wenn es eine Umgebung um [mm] z_0 [/mm] gibt, die ganz in der Menge liegt und dann ist man sehr schnell bei offenen Mengen.
LG
gfm
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versteh ich nicht und auf die zweite frage wurde auch nicht eingegangen, ich poste sie einfach nochmal, dann ist sie offen ... und es würde mich freuen wenn es mir jemand verständlich erklären könnte
> > wieso muss in dem fall die teilmenge offen sein?
>
> Weil du für die Def. von holomoprh rsp. komplex diffbar
> eine offene Umgebugn des Punktes brauchst. Diff.bar macht
> unter umständen keinen Sinn auf nicht offenen Mengen.
genau das is es ja ... wieso machts da keinen sinn, gerade das versteh ich nicht =)
>
> > und weiter stellt sich mir grad die frage ... eine hebbare
> > singularität ... da passiert ja eig gar nix ... $ [mm] f(z_0) [/mm] $
> > bleibt beschränkt für $ [mm] z->z_0 [/mm] $ also gibts da ja gar keine
> > singularität ... oder versteh ich da was falsch ...
>
> Es gibt a priori kein $ [mm] f(z_0) [/mm] $! Eine Lücke ist hebbar, wenn
> du f zu einer Funktiong vortsezen kannst, so dass g=f
> außerhalb von $ [mm] z_0 [/mm] $ und g in $ [mm] z_0 [/mm] $ def. ist und g holomoprh
> ist. Dann bezeichnet man bequemerweise das neue g mit dem
> alten f ...
hmmm ... das heisst ich geh davon aus dass f in $ [mm] z_0 [/mm] $ nicht definiert ist und dann zeig ich dass ich aus f g machen kann und dass dieses g, was ja eig f ist in $ [mm] z_0 [/mm] $ definiert ist und das ist dann meine hebbare sing. =)
stimmts so?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Do 25.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Weil du für die Def. von holomoprh rsp. komplex diffbar
> > eine offene Umgebugn des Punktes brauchst. Diff.bar
> macht
> > unter umständen keinen Sinn auf nicht offenen Mengen.
>
> genau das is es ja ... wieso machts da keinen sinn, gerade
> das versteh ich nicht =)
Weil du für diff.bar in y eben vorraussetzt, dass die Funktion in einer offenen Umgebung von f definiert ist. Wenn die y isoliert ist im Def.bereich, macht der Limes schonmal eh keinen Sinn. Wenn er am Rand liegt, wäre der Limes noch vertretabr, aber die Vorstellung bzw. was man haben möchte nicht mehr gegeben: es soll im Kleinen die Funktion erster Orduing gleich der Linearisierung sein. Bei nicht ofeenen wäre dies nicht der Fall. Viele Sätze, eben auch das Intergrieren über Kurven, würde extrem schwierig. Was soll denn eine diff.bare Kurve in eine beliebige Teilmenge sein? Kurven, die nahe um einen Punkt sind, kann man dann nicht mehr "zuschnüren". Es gibt einfach viele, viele Probleme, die auftreten könnten.
> hmmm ... das heisst ich geh davon aus dass f in [mm]z_0[/mm] nicht
> definiert ist und dann zeig ich dass ich aus f g machen
> kann und dass dieses g, was ja eig f ist in [mm]z_0[/mm] definiert
> ist und das ist dann meine hebbare sing. =)
> stimmts so?
Mal wieder extrem salopp ... Eine hebbare Singularität existiert, wenn es so ein g gibt (nach Def.!)
SEcki
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> > > Weil du für die Def. von holomoprh rsp. komplex diffbar
> > > eine offene Umgebugn des Punktes brauchst. Diff.bar
> > macht
> > > unter umständen keinen Sinn auf nicht offenen
> Mengen.
> >
> > genau das is es ja ... wieso machts da keinen sinn, gerade
> > das versteh ich nicht =)
>
> Weil du für diff.bar in y eben vorraussetzt, dass die
> Funktion in einer offenen Umgebung von f definiert ist.
und schon wieder setzt man das voraus =)
> Wenn die y isoliert ist im Def.bereich, macht der Limes
> schonmal eh keinen Sinn. Wenn er am Rand liegt, wäre der
> Limes noch vertretabr, aber die Vorstellung bzw. was man
> haben möchte nicht mehr gegeben: es soll im Kleinen die
> Funktion erster Orduing gleich der Linearisierung sein. Bei
> nicht ofeenen wäre dies nicht der Fall. Viele Sätze, eben
> auch das Intergrieren über Kurven, würde extrem
> schwierig. Was soll denn eine diff.bare Kurve in eine
> beliebige Teilmenge sein? Kurven, die nahe um einen Punkt
> sind, kann man dann nicht mehr "zuschnüren". Es gibt
> einfach viele, viele Probleme, die auftreten könnten.
naja ganz so is es net angekommen wie es sollte ... trotzdem danke für die mühe ... liegt wahrscheinlich mehr an mir weil ich alles hinterfrage, aber das sind dann doch die deffinitionen schuld dass es so ist
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> > hmmm ... das heisst ich geh davon aus dass f in [mm]z_0[/mm] nicht
> > definiert ist und dann zeig ich dass ich aus f g machen
> > kann und dass dieses g, was ja eig f ist in [mm]z_0[/mm] definiert
> > ist und das ist dann meine hebbare sing. =)
> > stimmts so?
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> Mal wieder extrem salopp ... Eine hebbare Singularität
> existiert, wenn es so ein g gibt (nach Def.!)
>
> SEcki
danke danke danke ...
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Do 25.02.2010 | | Autor: | gfm |
> versteh ich nicht und auf die zweite frage wurde auch nicht
> eingegangen, ich poste sie einfach nochmal, dann ist sie
Ich böser.
> offen ... und es würde mich freuen wenn es mir jemand
> verständlich erklären könnte
Was ist daran unverständlich? Analysis und nicht nur komplexe Analysis beschäftigt sich immer auch mit der Grenzwertbildung. Eine Folge kann nur einen Grenzwert haben, wenn in jeder noch so kleinen Umgebung des Grenzwertes Folgenglieder liegen. Wenn Du eine Funktion auf [0,1] [mm] \cup [/mm] {2} gegeben hast, dann macht es keine Sinn nach dem Grenzwert für [mm] x\to2 [/mm] zu fragen, weil in der unmittelbaren Umgebung von 2 keine Argumente für f vorhanden sind. Und für 0 und 1 müßte man die allg. Def. auf den links- und rechtseitigen Grenzwert abändern. All das braucht man nicht wenn man sich von vorn herein auf einen offenen Def.-Bereich beschränkt.
Darüberhinaus laufen oft Beweistechniken auf das Integrieren um einen beliebigen geschlossenen Weg um einen Punkt hinaus. Z.B. ist eine reguläre Funktion f(z) durch Ihre Werte auf einem Kreis um z bestimmt (-> Cauchyintegral). Was wenn z nun auf dem Rand liegt? Dann muss man den Def.-Bereich versuchen, so auszudehnen, dass z im inneren liegt. Und dann kann man lieber gleich mit einem offenen Def.-Bereich arbeiten, usw.
LG
LG
gfm
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> > versteh ich nicht und auf die zweite frage wurde auch nicht
> > eingegangen, ich poste sie einfach nochmal, dann ist sie
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> Ich böser.
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> > offen ... und es würde mich freuen wenn es mir jemand
> > verständlich erklären könnte
>
> Was ist daran unverständlich? Analysis und nicht nur
> komplexe Analysis beschäftigt sich immer auch mit der
> Grenzwertbildung. Eine Folge kann nur einen Grenzwert
> haben, wenn in jeder noch so kleinen Umgebung des
> Grenzwertes Folgenglieder liegen. Wenn Du eine Funktion auf
> [0,1] [mm]\cup[/mm] {2} gegeben hast, dann macht es keine Sinn nach
> dem Grenzwert für [mm]x\to2[/mm] zu fragen, weil in der
> unmittelbaren Umgebung von 2 keine Argumente für f
> vorhanden sind. Und für 0 und 1 müßte man die allg. Def.
> auf den links- und rechtseitigen Grenzwert abändern. All
> das braucht man nicht wenn man sich von vorn herein auf
> einen offenen Def.-Bereich beschränkt.
>
> Darüberhinaus laufen oft Beweistechniken auf das
> Integrieren um einen beliebigen geschlossenen Weg um einen
> Punkt hinaus. Z.B. ist eine reguläre Funktion f(z) durch
> Ihre Werte auf einem Kreis um z bestimmt (->
> Cauchyintegral). Was wenn z nun auf dem Rand liegt? Dann
> muss man den Def.-Bereich versuchen, so auszudehnen, dass z
> im inneren liegt. Und dann kann man lieber gleich mit einem
> offenen Def.-Bereich arbeiten, usw.
>
> LG
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> LG
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> gfm
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net bös sein, mir fehlen die grundlagen glaub ich ...
danke euch allen für die mühe ... langsam leuchtets ein ... =)
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