offener Untervektorraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallöchen zusammen,
ich hänge gerad über meinem Funktionalanalysisskript und mir stellt sich folgende Frage:
Im Kapitel zu Hilberträumen, Orthogonalität, Lotraum usw. wird bei den Lemma und Sätzen immer wieder folgende Einschränkung gemacht:
Sei R Hilbertraum oder unitärer Raum und U [mm] \subset [/mm] R ein abgeschlossener Unter(vektor)raum.
Gehe ich richtig in der Annahme, dass in endlich dimensionalen Räumen Untervektorräume immer abgeschlossen sind und offene Untervektorräume nur im unendlich-dimensionalen Fall auftreten? Hat jemand ein Beispiel für einen solchen UR für mich? Leider habe ich bisher nur topologisch offene Unterräume, also offene Mengen gefunden. Oder habe ich hier ganz allgemein ein Brett vor dem Kopf?
Danke für alle Antworten
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Mi 12.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallöchen zusammen,
>
> ich hänge gerad über meinem Funktionalanalysisskript und
> mir stellt sich folgende Frage:
> Im Kapitel zu Hilberträumen, Orthogonalität, Lotraum
> usw. wird bei den Lemma und Sätzen immer wieder folgende
> Einschränkung gemacht:
> Sei R Hilbertraum oder unitärer Raum und U [mm]\subset[/mm] R ein
> abgeschlossener Unter(vektor)raum.
>
> Gehe ich richtig in der Annahme, dass in endlich
> dimensionalen
normierten
> Räumen Untervektorräume immer abgeschlossen sind
Ja, das stimmt.
> und offene Untervektorräume nur im
> unendlich-dimensionalen Fall auftreten?
Nein, das stimmt nicht.
1.Ist X ein normierter Raum, so ist X ein Unterraum von X und X ist offen.
2. Sei X ein normierter Raum und U ein Unterraum von X und U offen.
Behauptung; U=X
Beweis: Annahme: U [mm] \ne [/mm] X. Dann ex. ein [mm] x_0 \in [/mm] X mit [mm] x_0 \notin [/mm] U. Dann ist [mm] x_0 \ne [/mm] 0.
Da 0 [mm] \in [/mm] U und U offen ist, gibt es ein r>0 mit:
[mm] $\{x \in X: ||x||
Dann ist aber [mm] y_0:= \bruch{r}{2}*\bruch{x_0}{||x_0||} \in [/mm] U, denn [mm] ||y_0||
Es folgt:
[mm] x_0=\bruch{2||x_0||}{r}*y_0 \in [/mm] U.
Widerspruch !
FRED
> Hat jemand ein
> Beispiel für einen solchen UR für mich? Leider habe ich
> bisher nur topologisch offene Unterräume, also offene
> Mengen gefunden. Oder habe ich hier ganz allgemein ein
> Brett vor dem Kopf?
>
> Danke für alle Antworten
|
|
|
| |
|
Danke für deine Antwort.
Dass der Raum selbst sowohl abgeschlossen, als auch offen ist, war mir klar. Dein Beweis leuchtet mir auch vollständig ein. Ich glaube, mein Fokus auf offene UR war nicht zielführend. Ich habe jetzt immer noch keine Erklärung, warum in den Funkanaskripten immer explizit abgeschlossene Unterräume vorausgesetzt werden.
Noch mal konkreter die Frage: Gibt es (im endlich oder unendlich dimensionalen VR) nicht-abgeschlossene Untervektorräume?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Mi 12.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort.
>
> Dass der Raum selbst sowohl abgeschlossen, als auch offen
> ist, war mir klar. Dein Beweis leuchtet mir auch
> vollständig ein. Ich glaube, mein Fokus auf offene UR war
> nicht zielführend. Ich habe jetzt immer noch keine
> Erklärung, warum in den Funkanaskripten immer explizit
> abgeschlossene Unterräume vorausgesetzt werden.
Weil die betreffenden Sätze i.a. für nicht abgeschlossene Unterräume falsch sind.
>
> Noch mal konkreter die Frage: Gibt es (im endlich oder
> unendlich dimensionalen VR) nicht-abgeschlossene
> Untervektorräume?
Nochmal: im endlichdim. gibt es so etwas nicht.
Sei [mm] $l^{\infty}:=\{(x_n): x_n \in \IR,(x_n) ~ ist ~beschränkt \}$
[/mm]
[mm] l^{\infty} [/mm] ist mit [mm] ||(x_n)||:= [/mm] sup [mm] |x_n| [/mm] ein Banachraum
Wir nennen [mm] (x_n) [/mm] finit , wenn es ein N [mm] \in \IN [/mm] gibt mit: [mm] x_n=0 [/mm] für n>N.
Sei U:={ [mm] (x_n): (x_n) [/mm] ist finit }
Dann ist U ein UR von [mm] l^{\infty}, [/mm] U ist nicht abgeschlossen.
FRED
|
|
|
|
