orthogonal / diagonalisierbar < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Wenn ich im Allgemeinen symmetrische Matrizen habe, und diese auf Orthogonalität und Diagonalisierbarkeit prüfen soll, wie kann ich verfahren?
Ich weiß, dass ich Diagonalisierbarkeit anhand Eigenwerte und Eigenraum (algebraische Viefachheit = geom. Vielfachheit) zeigen kann. Gibt es auch noch alternative Möglichkeiten hierzu?
Kann ich Orthogonalität prüfen, indem ich schaue ob die Vektoren einer symm. Matrix eine Basis bilden?
Gibt es auch hier Alternativen?
Kann ich von Diag. Rückschlüsse auf Orthog. ziehen bzw. umgekehrt?
THANKS
|
|
| |
|
> Wenn ich im Allgemeinen symmetrische Matrizen habe, und
> diese auf Orthogonalität und Diagonalisierbarkeit prüfen
> soll, wie kann ich verfahren?
Hallo,
für Diagonalisierbarkeit brauchst Du gar nichts zu tun, denn symmetrische Matrizen sind diagonalisierbar.
Wenn Du die matrix auf Orthogonalität prüfen willst, dann guckst Du halt, ob die Spalten die Länge 1 haben und paarweise orthogonal sind.
Oder meintest Du eigentlich was anderes? Jede symmetrische Matrix ist sogar orthogonal diagonalisierbar.
Die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten sind vollautomatisch orthogonal, und innerhalb der Eigenräume muß man ggf. orthogonalisieren.
> Ich weiß, dass ich Diagonalisierbarkeit anhand Eigenwerte
> und Eigenraum (algebraische Viefachheit = geom.
> Vielfachheit) zeigen kann. Gibt es auch noch alternative
> Möglichkeiten hierzu?
Kommt halt drauf an, was gefragt ist. Wenn's nur um's "Ob" der orthogonalen Diagonalisierbarkeit geht, brauchst Du überhaupt nichts zu tun bei symmetrischen Matrizen, ansonsten rollt halt das übliche Procedere an mit Eigenwerten ,Eigenvektoren.
>
> Kann ich Orthogonalität prüfen, indem ich schaue ob die
> Vektoren einer symm. Matrix eine Basis bilden?
> Gibt es auch hier Alternativen?
>
> Kann ich von Diag. Rückschlüsse auf Orthog.
Nein.
> ziehen bzw.
> umgekehrt?
Orthogonale matrizen sind komplex diagonalisierbar, reell nicht in jedem fall.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Danke Angela für deinen Hinweis.
Ich habe nicht eine symm. Matrix gemeint, sondern eine nxn-Matrix.
Dann möchte ich die Frage nochmals stellen für allgemeine nxn-Matrizen.
Entschuldigung den Fehler.
DANKE
|
|
|
| |
|
Hallo,
bei völlig beliebigen nxn-Matrizen mußt Du Eigenwerte und Eigenräume berechnen.
n linear unabhängige Eigenvektoren: diagonalisierbar.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
