orthogonale Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie bei folgenden Matrizen die “freien” Koeffizienten so, dass sich eine orthogonale Matrix ergibt. Wie viele Möglichkeiten gibt es jeweils?
a)
A= [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & a12 & \bruch{1}{2}\wurzel{2}\\ \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} & a23 \\ a31 & \bruch{1}{2}\wurzel{2} & a33}
[/mm]
b)
A= [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & * & *\\ * & 1 & * \\ * & * & -\bruch{1}{2}} [/mm] |
Wenn A orthogonal ist, dann gilt [mm] A^T=A^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow A^T*A=E
[/mm]
[mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} & a31\\ a12 & -\bruch{1}{2} & \bruch{1}{2}\wurzel{2} \\ \bruch{1}{2}\wurzel{2} & a23 & a33} [/mm] * [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & a12 & \bruch{1}{2}\wurzel{2}\\ \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} & a23 \\ a31 & \bruch{1}{2}\wurzel{2} & a33}= \pmat{ 1 & 0 & 0\\ \0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
1: [mm] (\bruch{1}{2})^2 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2})^2+ a31^2=1 [/mm]
2: [mm] \bruch{1}{2}a12-\bruch{1}{4}+a31*\bruch{1}{2}\wurzel{2}=0
[/mm]
3: [mm] \bruch{1}{4}\wurzel{2}+ \bruch{1}{2}a23+ [/mm] a31*a33=0
4: [mm] \bruch{1}{2}a12-\bruch{1}{4}+a31*\bruch{1}{2}\wurzel{2}=0
[/mm]
5: [mm] a12^2+\bruch{1}{4}+ \bruch{1}{2}=1
[/mm]
6: [mm] a12*\bruch{1}{2}\wurzel{2}-\bruch{1}{2}a23+\bruch{1}{2}\wurzel{2}*a33=0
[/mm]
7: - [mm] \bruch{1}{4}\wurzel{2}+\bruch{1}{2}a23+a33*a31=0
[/mm]
8: [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2}a12-\bruch{1}{2}*a23+\bruch{1}{2}\wurzel{2}a33=0
[/mm]
9: [mm] \bruch{1}{2}+a23^2+a33^2=1
[/mm]
so das sind alle gleichungen
1: [mm] \Rightarrow [/mm] a31= 1 oder -1
2: [mm] \Rightarrow \bruch{1}{2}a12-\bruch{1}{4}+1*\bruch{1}{2}\wurzel{2}=0
[/mm]
a12= [mm] \bruch{-1+2\wurzel{2}}{2} [/mm] oder [mm] \bruch{-1-2\wurzel{2}}{2}
[/mm]
ist das soweit richtig?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 So 01.12.2013 | | Autor: | arbeitsamt |
ich sehe gerade, das s ich schon am anfang einen fehler gemacht habe -.-
EDIT: ich habe es jetzt korregiert
|
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie bei folgenden Matrizen die “freien”
> Koeffizienten so, dass sich eine orthogonale Matrix ergibt.
> Wie viele Möglichkeiten gibt es jeweils?
> a)
> A= [mm]\pmat{ \bruch{1}{2} & a12 & \bruch{1}{2}\wurzel{2}\\ \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} & a23 \\ a31 & \bruch{1}{2}\wurzel{2} & a33}[/mm]
>
> b)
> A= [mm]\pmat{ \bruch{1}{2} & * & *\\ * & 1 & * \\ * & * & -\bruch{1}{2}}[/mm]
>
>
> Wenn A orthogonal ist, dann gilt [mm]A^T=A^{-1}[/mm]
>
> [mm]%5CRightarrow%20A%5ET*A%3DE[/mm]
>
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} & a31\\ a12 & -\bruch{1}{2} & \bruch{1}{2}\wurzel{2} \\ \bruch{1}{2}\wurzel{2} & a23 & a33}[/mm]
> * [mm]\pmat{ \bruch{1}{2} & a12 & \bruch{1}{2}\wurzel{2}\\ \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} & a23 \\ a31 & \bruch{1}{2}\wurzel{2} & a33}= \pmat{ 1 & 0 & 0\\ \0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
Hallo,
ja, so kannst Du das machen.
>
> 1: [mm](\bruch{1}{2})^2[/mm] - [mm](%5Cbruch%7B1%7D%7B2%7D)%5E2%2B%20a31%5E2%3D1[/mm]
Die Gleichung stimmt nicht, und deshalb kann Dein Lösungsversuch nicht funktionieren.
>
> 2:
> [mm]\bruch{1}{2}a12-\bruch{1}{4}+a31*\bruch{1}{2}\wurzel{2}=0[/mm]
>
> 3: [mm]\bruch{1}{4}\wurzel{2}+ \bruch{1}{2}a23+[/mm] a31*a33=0
>
> 4:
> [mm]\bruch{1}{2}a12-\bruch{1}{4}+a31*\bruch{1}{2}\wurzel{2}=0[/mm]
>
> 5: [mm]a12^2+\bruch{1}{4}+ \bruch{1}{2}=1[/mm]
>
> 6:
> [mm]a12*\bruch{1}{2}\wurzel{2}-\bruch{1}{2}a23+\bruch{1}{2}\wurzel{2}*a33=0[/mm]
>
> 7: - [mm]\bruch{1}{4}\wurzel{2}+\bruch{1}{2}a23+a33*a31=0[/mm]
>
> 8:
> [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}a12-\bruch{1}{2}*a23+\bruch{1}{2}\wurzel{2}a33=0[/mm]
>
> 9: [mm]\bruch{1}{2}+a23^2+a33^2=1[/mm]
>
> so das sind alle gleichungen
>
>
> 1: [mm]\Rightarrow[/mm] a31= 1 oder -1
Mal angenommen, das wäre richtig.
Dann solltest Du nun die Matrix völlig getrennt weiteruntersuchen, einmanl für den Fall [mm] a_3_1=1 [/mm] und dann für [mm] a_3_1=-1.
[/mm]
LG Angela
>
> 2: [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}a12-\bruch{1}{4}+1*\bruch{1}{2}\wurzel{2}=0[/mm]
>
> a12= [mm]\bruch{-1+2\wurzel{2}}{2}[/mm] oder
> [mm]\bruch{-1-2\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> ist das soweit richtig?
>
|
|
|
| |
|
ok ich habe die gleichung nun korregiert. ich schreibe nur 4 gleichung, damit es übersichtlich bleibt. also ich habe jetzt 4 unbekannte und 4 gleichungen. das sollte lösbar sein
1: [mm] (\bruch{1}{4}) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{4})+ a31^2=1 [/mm]
2: [mm] \bruch{1}{2}a12-\bruch{1}{4}+a31*\bruch{1}{2}\wurzel{2}=0
[/mm]
6: [mm] a12*\bruch{1}{2}\wurzel{2}-\bruch{1}{2}a23+\bruch{1}{2}\wurzel{2}*a33=0
[/mm]
7: - [mm] \bruch{1}{4}\wurzel{2}+\bruch{1}{2}a23+a33*a31=0
[/mm]
----------------------------------------------------------------------------------
1: [mm] (\bruch{1}{4}) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{4})+ a31^2=1 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a31= [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] oder [mm] -\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
ich habe hier nur mit a31= [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] weiter gerechnet
2: [mm] \bruch{1}{2}a12-\bruch{1}{4}+a31*\bruch{1}{2}\wurzel{2}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a12 = - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
6: [mm] a12*\bruch{1}{2}\wurzel{2}-\bruch{1}{2}a23+\bruch{1}{2}\wurzel{2}*a33=0
[/mm]
a23= - [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}+\wurzel{2}a33 [/mm]
a23 in 7 einsetzen:
7: - [mm] \bruch{1}{4}\wurzel{2}+\bruch{1}{2}a23+a33*a31=0
[/mm]
a33=0
a23= [mm] -\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
wäre das so richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo arbeitsamt,
> ok ich habe die gleichung nun korregiert. ich schreibe nur
> 4 gleichung, damit es übersichtlich bleibt. also ich habe
> jetzt 4 unbekannte und 4 gleichungen. das sollte lösbar
> sein
>
>
> 1: [mm](\bruch{1}{4})[/mm] + [mm](\bruch{1}{4})+ a31^2=1[/mm]
>
> 2:
> [mm]\bruch{1}{2}a12-\bruch{1}{4}+a31*\bruch{1}{2}\wurzel{2}=0[/mm]
>
>
> 6:
> [mm]a12*\bruch{1}{2}\wurzel{2}-\bruch{1}{2}a23+\bruch{1}{2}\wurzel{2}*a33=0[/mm]
>
> 7: - [mm]\bruch{1}{4}\wurzel{2}+\bruch{1}{2}a23+a33*a31=0[/mm]
>
>
> ----------------------------------------------------------------------------------
>
> 1: [mm](\bruch{1}{4})[/mm] + [mm](\bruch{1}{4})+ a31^2=1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a31= [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] oder
> [mm]-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> ich habe hier nur mit a31= [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] weiter
> gerechnet
>
>
> 2:
> [mm]\bruch{1}{2}a12-\bruch{1}{4}+a31*\bruch{1}{2}\wurzel{2}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a12 = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
>
> 6:
> [mm]a12*\bruch{1}{2}\wurzel{2}-\bruch{1}{2}a23+\bruch{1}{2}\wurzel{2}*a33=0[/mm]
>
> a23= - [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}+\wurzel{2}a33[/mm]
>
>
> a23 in 7 einsetzen:
>
> 7: - [mm]\bruch{1}{4}\wurzel{2}+\bruch{1}{2}a23+a33*a31=0[/mm]
>
> a33=0
>
> a23= [mm]-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
>
> wäre das so richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
ok danke
ich habe es jetzt mit a31= [mm] -\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] die unbekannten gelöst, bekomme aber unschöne zahlen raus:
a31= [mm] -\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
2: [mm] \bruch{1}{2}a12-\bruch{1}{4}+a31*\bruch{1}{2}\wurzel{2}=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}a12-\bruch{1}{4}+(-\bruch{\wurzel{2}}{2})*\bruch{1}{2}\wurzel{2}=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}a12-\bruch{3}{4}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a12 = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
6: [mm] a12*\bruch{1}{2}\wurzel{2}-\bruch{1}{2}a23+\bruch{1}{2}\wurzel{2}*a33=0
[/mm]
[mm] \bruch{3}{2}*\bruch{1}{2}\wurzel{2}-\bruch{1}{2}a23+\bruch{1}{2}\wurzel{2}*a33=0
[/mm]
[mm] \bruch{3}{2}*\wurzel{2}-a23+\wurzel{2}*a33=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a23= [mm] \bruch{-6-3\wurzel{2}}{2}
[/mm]
das ergebnis sieht nicht wirklich richtig aus :/
wo ist der fehler?
|
|
|
| |
|
Hallo arbeitsamt,
> ok danke
>
> ich habe es jetzt mit a31= [mm]-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] die
> unbekannten gelöst, bekomme aber unschöne zahlen raus:
>
> a31= [mm]-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
>
> 2:
> [mm]\bruch{1}{2}a12-\bruch{1}{4}+a31*\bruch{1}{2}\wurzel{2}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}a12-\bruch{1}{4}+(-\bruch{\wurzel{2}}{2})*\bruch{1}{2}\wurzel{2}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}a12-\bruch{3}{4}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a12 = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
>
> 6:
> [mm]a12*\bruch{1}{2}\wurzel{2}-\bruch{1}{2}a23+\bruch{1}{2}\wurzel{2}*a33=0[/mm]
>
>
>
> [mm]\bruch{3}{2}*\bruch{1}{2}\wurzel{2}-\bruch{1}{2}a23+\bruch{1}{2}\wurzel{2}*a33=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{3}{2}*\wurzel{2}-a23+\wurzel{2}*a33=0[/mm]
>
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a23= [mm]\bruch{-6-3\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> das ergebnis sieht nicht wirklich richtig aus :/
>
> wo ist der fehler?
Die Gleichung
[mm]a12^{2}+\bruch{3}{4}=1[/mm]
ist mit obigen Werten nicht erfüllbar.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
wie kommst du auf die gleichung? bzw wo ist mein fehler?
|
|
|
| |
|
Hallo arbeitsamt,
> wie kommst du auf die gleichung? bzw wo ist mein fehler?
Das ist in Deinem Ausgangspost die Gleichung Nr. 5.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
ich habe mir das jetzt mehrmals durcgerechnet. ich komme immer auf
a12= [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
ich finde meinen fehler einfach nicht
kann mir da jemand helfen?
ich könnte ja dei 5 gleichung nehmen und nach a12 auflösen, aber dann bekomme ich ja wieder zwei lösungen....
|
|
|
| |
|
> ich habe mir das jetzt mehrmals durcgerechnet. ich komme
> immer auf
>
> a12= [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> ich finde meinen fehler einfach nicht
>
> kann mir da jemand helfen?
>
> ich könnte ja dei 5 gleichung nehmen und nach a12
> auflösen, aber dann bekomme ich ja wieder zwei
> lösungen....
Hallo,
Du solltest mal in Erwägung ziehen, daß es für den gerade untersuchten Fall [mm] a_{31}=-\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
keine Lösung gibt.
LG Angela
|
|
|
|
