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Ich habe eine Aufgabe in der ich einen Vektor des [mm] \IR^3 [/mm] gegeben habe, und 2 Vektoren eines Untervektorraumes, ebenfalls des [mm] \IR^3. [/mm] Ich soll nun die orthogonale Projektion ausrechnen.
Was ist denn eine orthogonale Projektion? So weit ich weiß wurde das in der VOrlesung nicht besprochen...
Kann das vielleicht jemand auch anschaulich erklären, gerade anhand meines Beispiels.
Die Vektoren des UVRs sind ja im Prinzip eine Ebene. Wie schaut die orthogonale Projektion auf diese Ebene aus?
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> Ich habe eine Aufgabe in der ich einen Vektor des [mm]\IR^3[/mm]
> gegeben habe, und 2 Vektoren eines Untervektorraumes,
> ebenfalls des [mm]\IR^3.[/mm] Ich soll nun die orthogonale
> Projektion ausrechnen.
> Was ist denn eine orthogonale Projektion?
Hallo,
das geht so:
nimm eine Basis [mm] (b_1, b_2) [/mm] des Unterraums U, und er gänze sie so zu einer Basis des [mm] \IR^3, [/mm] daß der ergänzende Vektor [mm] b_3 [/mm] senkrecht ist zu [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2.
[/mm]
Du kannst Dich hierfür dbei Bedarf des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens bedienen.
Jeden Vektor [mm] v\in \IR^3 [/mm] kannst Du dann schreiben als [mm] v=\summe_{1}^{3} \lambda_ib_i, [/mm] und die orthogonale Projektion [mm] \pi [/mm] von V auf den Unterraum [mm] U= [/mm] ist dann die Abbildung, für welche [mm] \pi(v):= \lambda_1b_1+\lambda_2b_2 [/mm] für alle [mm] v=\summe_{1}^{3} \lambda_ib_i.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Ich hab den letzten Satz nicht richtig verstanden.
Fehlt da nicht irgendwas? Was soll für die Abbildung $ [mm] \pi(v):= \lambda_1b_1+\lambda_2b_2 [/mm] $ gelten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Sa 10.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
anschaulich: b3 steht senkrecht auf deinen Unterraum. Alle Vektoren aus den [mm] R^3 [/mm] kannst du als
[mm] v=\lambda_1*b1+\lambda_2*b2*\lambda_3*b3 [/mm] schreiben.
lässt du [mm] \lambda_3b3 [/mm] weg, dann hast du die Projektion in den Unterraum.
Noch anschaulicher , wenn du mit der Normalbasis im R3 arbeitest und auf die x,y Ebene orthogonal proj hast du aus dem Vektor (1,2,3) den Vektor (1,2,0) gemacht. proj. du auf die y-z Ebene bleibt (0,2,3)
Gruss leduart
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Ist der Abstand des Vektors v zu dem UVR W dann:
dist (v, W) = [mm] \wurzel{||v||² - ||a||²} [/mm] wobei a der orthogonale Projektionsvektor, oder wie man dazu sagt, ist.
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> Ist der Abstand des Vektors v zu dem UVR W dann:
>
> dist (v, W) = [mm]\wurzel{||v||² - ||a||²}[/mm] wobei a der
> orthogonale Projektionsvektor, oder wie man dazu sagt, ist.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") So ist es nach Pythagoras !
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> Ich habe eine Aufgabe in der ich einen Vektor des [mm]\IR^3[/mm]
> gegeben habe, und 2 Vektoren eines Untervektorraumes,
> ebenfalls des [mm]\IR^3.[/mm] Ich soll nun die orthogonale
> Projektion ausrechnen.
> Was ist denn eine orthogonale Projektion? So weit ich weiß
> wurde das in der VOrlesung nicht besprochen...
> Kann das vielleicht jemand auch anschaulich erklären,
> gerade anhand meines Beispiels.
> Die Vektoren des UVRs sind ja im Prinzip eine Ebene. Wie
> schaut die orthogonale Projektion auf diese Ebene aus?
Hallo MisterWong,
du fragst nach einer anschaulichen Erklärung.
Diesen Wunsch kann man im Fall des [mm] \IR^3 [/mm] mit einem
zweidimensionalen Unterraum leicht erfüllen.
Stell dir im x-y-z-Koordinatensystem drei beliebige
Punkte A,B,C mit den jeweiligen Ortsvektoren [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] vor.
Die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] spannen die Ebene E auf, in
welcher das Dreieck OAB liegt. Diese Ebene stellt
deinen zweidimensionalen Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] dar.
Nun haben wir noch den dritten Vektor [mm] \vec{c}=\overrightarrow{OC},
[/mm]
den wir orthogonal auf die Ebene E projizieren
sollen. Dazu legt man eine Normale n zu E durch
den Punkt C. Da, wo n die Ebene schneidet, ist
der projizierte Punkt, nennen wir ihn [mm] \overline{C}=P(C).
[/mm]
Der zugehörige Ortsvektor [mm] \overrightarrow{O\overline{C}} [/mm] ist die orthogonale
Projektion des Vektors [mm] \vec{c} [/mm] auf den Unterraum.
So besehen ist dies also durchaus Gymnasialstoff:
"Bestimme den Fusspunkt des Lotes, das vom Punkt
C auf die Ebene E = OAB gefällt wird ..."
LG Al-Chw.
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