orthogonale Zerlegung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Fr 18.05.2012 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | gegeben: [mm]\vec{a}=(1,0,1)[/mm] und [mm]\vec{n}=(1,1,1)[/mm]
orthogonale Zerlegung von [mm]\vec{n}[/mm] bzgl. [mm]\vec{a}[/mm] soll berechnet werden.(d.h. [mm]\vec{n}=\lambda\cdot \vec{a}+\vec{v}[/mm] mit [mm]\vec{v}\perp\vec{a},\lambda\in\IR[/mm]) |
Hallo, ich habe mal wieder eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme bzw. nicht ganz verstehe.
Wie mache ich das denn jetzt genau? Ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll.
Das einzige, dass ich machen kann ist Einsetzen:
[mm] $(1,1,1)=\lambda\cdot (1,0,1)+\vec{v}$
[/mm]
Danke
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moin,
Du hast ja schon eine Bedingung.
Schreib dir jetzt noch hin, was für die Orthogonalität genau gelten soll und forme dann alle geforderten Bedingungen solange um, bis du [mm] $\lambda$ [/mm] und $v$ findest, die alles erfüllen (als Tipp: dafür musst du nach dem Aufschreiben aller Bedingungen nicht mehr sehr viel machen).
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:42 Sa 19.05.2012 | | Autor: | lzaman |
Hallo, ich glaube ich habs. Ich kann doch die ganze Gleichung mit dem Vektor [mm] $\vec{a}$ [/mm] erweitern bzw. multipizieren, oder?:
[mm]\vec{n}\cdot \red{\vec{a}}=\lambda\cdot\underbrace{ \vec{a}\cdot \red{\vec{a}}}_{=|a|^2} \ +\underbrace{\vec{v}\cdot \red{\vec{a}}}_{wg. \ \vec{v}\perp\vec{a}=0}\Rightarrow \ \vec{n}\cdot\vec{a}=\lambda\cdot |\vec{a}|^2\Rightarrow \ \lambda=\dfrac{\vec{n}\cdot\vec{a}}{|\vec{a}|^2}=\dfrac{2}{2}=1[/mm]
Ist das alles Schwachsinn?
Denn jetzt wird es trivial:
[mm]\vec{v}=\vec{n}-1 \cdot \vec{a}=(0,1,0) \Rightarrow \ \vec{n}=(1,0,1)+(0,1,0)[/mm]
Bitte sagt mir, dass es richtig ist...
Danke
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Jo, das sieht soweit brauchbar aus.
Wie du ganz richtig festgestellt hast, ist das multiplizieren (bzw. präziser das Bilden des Skalarprodukts) mit $a$ im Allgemeinen nicht invertierbar, wodurch du eben nur eine Folgerung erhälst.
Das heißt du musst mit deinem Ergebnis aufpassen und es ggf. noch in deine Ausgangsgleichung einsetzen, aber so wie in deinem Fall hier kannst du so durchaus dein gesuchtes Ergebnis finden.
Du solltest allerdings aufpassen und dir ein wenig überlegen, ob du alles machen darfst.
Denn das Skalarprodukt von Vektoren hat zwar viele Eigenschaften des klassischen Produkts, aber eben nicht alle (so kannst du zB keinen Kehrwert bilen).
Also wenn du es formal korrekt machen möchtest überlege dir, wieso das mit dem Skalarprodukt hier gut geht; aber ich kann dir sonst schonmal verraten, dass es das tut.^^
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mi 24.10.2012 | | Autor: | lzaman |
Hallo, ich muss leider noch einer Frage anhängen:
Ist es so, dass hier [mm]\vec{n}[/mm] als ein herkömmlicher Vektor und nicht als Normalenvektor zu [mm]\vec{a}[/mm] behandelt wird?
Hab mal eine Skizze gemacht, in der [mm]\alpha < 90^\circ[/mm] sein muss, wenn Ihr diese mal bitte prüfen könntet.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und ich habe die ganze rum geiirt, weil ich davon ausging, dass [mm] $\vec{n}$ [/mm] in der Aufgabe ein Normalenvektor ist..
Danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Mi 24.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
n ist ja sicher zu irgendwas normal, also, warum stört dich der name, dass n nicht zu a normal ist sah man ja direkt.
deine Zeichnung ist als Skizze richtig richtig,
gruss leduart
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